En cuanto a la hipótesis del modelo de regresión lineal clásico

Question

Para el modelo dado $y = x\beta + \varepsilon$ Los cuatro supuestos serían

1. El modelo es lineal en $x$ y $\beta$ también aditivo en $\varepsilon$
2. La media condicional de los términos de error es cero (es decir $E[\varepsilon|x] = 0)$
3. $Var[\varepsilon|x] = \sigma^2I_n$
4. Exogeneidad de $x$ (es decir, o bien $x$ es fijo o independiente de $\varepsilon$ )

Mi pregunta es que en el caso de las siguientes situaciones qué supuestos se han violado.

Caso 1. $E[x'\varepsilon] \neq 0$ [No estoy seguro de si esto implica que se ha violado el segundo o el cuarto supuesto]

Caso 2. $Cov(x_i,\varepsilon_i) \neq 0$ [Supongo que la tercera ha sido violada, pero ¿podría implicar la violación de otros supuestos?]

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Asumo que x es un escalar.( pero el argumento es similar si no lo es).

Ambos violan la condición 4) porque ambos dicen que x, el regresor, no es independiente de $\epsilon$ . El caso 1 es una afirmación teórica sobre el regresor y el término de ruido. El caso 2 es una afirmación empírica sobre algunos de los datos reales del regresor y el término de ruido. Si quieres una buena explicación intuitiva de la econometría (no una exposición estándar de un libro de texto), te recomiendo encarecidamente el texto de Peter Kennedy. Creo que se llama "econometría", pero estoy bastante seguro de que sólo escribió un libro, así que puedes buscarlo en Google en Amazon.

Answer 2

Caso 1: $$\mathbb{E}(x'\epsilon) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(x'\epsilon|x)) = \mathbb{E}(x'\mathbb{E}(\epsilon|x))$$

Por lo tanto, $$\mathbb{E}(\epsilon|x) = 0 \implies \mathbb{E}(x'\epsilon) = 0 $$ Equivalentemente, $$\mathbb{E}(x'\epsilon) \neq 0 \implies \mathbb{E}(\epsilon|x) \neq 0 $$

Así, se viola la hipótesis (2).

Caso 2: Si dos variables aleatorias son independientes, entonces no están correlacionadas, es decir, su covarianza es 0. Equivalentemente, si dos variables aleatorias están correlacionadas, entonces no son independientes. Por lo tanto, $Cov(x_i, \epsilon)\neq 0$ implica que $x$ no es independiente de $\epsilon$ violando la hipótesis (4).