Sé cómo resolver el problema de optimización con restricciones de 2 variables usando MRS = MRT, pero también quiero asegurarme de que entiendo cómo hacerlo con el método lagrangiano.
Así que si tengo el siguiente problema
$U(x) = \alpha\ln(x_1) + (1-\alpha)\ln(x_2)$
con $p_1x_1 + p_2x_2 = w$
Obtuve la respuesta utilizando el método MRS = MRT como $x_1 = \frac{w\alpha}{p_1}$ y $x_2 = \frac{w(1-\alpha)}{p_2}$ . Estoy un poco confundido sobre cómo configurar el Lagrangiano. Esto es lo que hice
Así que $L = \alpha\ln(x_1) + (1-\alpha)\ln(x_2) + \lambda(w - p_1x_1 - p_2x_2) + \mu_1x_1 + \mu_2x_2$
$\frac{dL}{dx_1} = \frac{\alpha}{x_1} + p_1\lambda + \mu_1 = 0$
$\frac{dL}{dx_1} = \frac{1-\alpha}{x_2} + p_2\lambda + \mu_2 = 0$
$\frac{dL}{d\lambda} = w - p_1x_1 - p_2x_2 = 0$
$\frac{dL}{d\mu_1} = x_1 = 0$
$\frac{dL}{d\mu_2} = x_2 = 0$
Este es mi problema. Si asumo que $x_1$ y $x_2$ no puede ser 0 y de alguna manera asumo que $\mu_1$ y $\mu_2$ son 0, entonces puedo resolverlo con bastante facilidad. A continuación, simplemente igualo el $\lambda$ en las dos primeras ecuaciones y, a continuación, se introduce en la restricción presupuestaria como en el caso MRS = MRT.
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Sin embargo, ¿qué me da derecho a hacer $\mu_1$ y $\mu_2$ ¿Igual a 0? ¿Es este el enfoque correcto? ¿Cuándo no son 0?
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He oído que para utilizar el método lagrangiano hay que cumplir algunas "condiciones". ¿Qué condiciones deben cumplirse? ¿Cómo puedo comprobarlo? ¿Está relacionado con la diferenciabilidad?
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¿Existe alguna restricción sobre lo que $\lambda$ y $\mu$ ¿puede ser?
Gracias.
