El principio de optimalidad y la ecuación de Bellman

Question

Dados (1) y (2), ¿es posible demostrar la existencia de una ecuación de Bellman (3), utilizando el principio de optimalidad de Bellman?

1. $$\ max \Sigma\beta^s U(C_t)$$

Sujeto a la siguiente restricción de recursos:

2. $$C_t + K_{t+1}= F(K_F, E_F,S_t)$$

Dónde: $$E_t = F_E(K_E,E_2,R_t, R_{t+1})$$

$$S_t = \Sigma(1-d)E_t$$

$$R_{t+1}=R_t -E_t$$

Y la ecuación de Bellman está dada:

3. $$V_t (K_t,R_t,E_t)= max_{C_1,K_2,E_1,E_t} {U(C_t)+\beta V_{t+1}(K_{t+1},R_{t+1},E_{t+1}) + \lambda_2 (F_2 (K_2,E_t-E_1)-E_t)}$$

Este problema se extrae de la ec. (27) y de la ec. (39) del siguiente libro de texto: https://are.berkeley.edu/~traeger/pdf/KarpTraegerDraft.pdf .

Los parámetros especificados en el modelo son:

• Consumo $C_t$
• Capital $K_t$
• El sector energético $E_t$
• La reserva de carbono $S_t$
• El recurso finito $R_t$

Agradecería sinceramente poder ver cómo se lleva a cabo en este tipo de modelos.

Answer 1

Recordemos que el Principio de Optimidad establece que la solución de Nuestra Ecuación Funcional de Bellman es la misma que la solución del problema secuencial si:

Supuesto 1: $\Gamma(x)$ (nuestro conjunto de valores factibles) es no vacío para todo $x\in X$ .

Supuesto 2: $\lim_{t\rightarrow\infty}\sum_{t=0}^\infty \beta^t F(x_t,x_{t+1}) $ existe para todos los $\tilde{x}\in \Pi(x_0)$ ( $\Pi(x_0)$ siendo la correspondencia de $x$ teniendo en cuenta una primera $x_0$ )

Supuesto 3: $|V^*(x)<\infty|$ para todos $x \in X$ .

Supuesto 4: Para cualquier $x_0$ existe un plan $\tilde{x}\in \Pi(x_0)$ tal que $u(\tilde{x})=V^*(x_0)$ .

En su historia aquí desde $\beta<0$ sabemos que está acotado todo lo que estamos haciendo es añadir una restricción adicional. Esto es equivalente a escribir el legrangiano: $$\mathcal{L}=\sum_{t=0}^\infty\{\beta^tu(c_t)+\sum_i\lambda_{t,i}(F(K_{t+1},E_t-E_{i,t+1})-E_{j,t+1}\}$$

De nuevo, puede que no esté iterando toda la historia porque hay dos sectores aquí, pero así es como yo pensaría si se satisface el principio de optimalidad.

Espero que esto ayude

Edición: Después de ver su adenda, supongo que el procedimiento sería el mismo

$$V_t(k_t)=max_{c_t}\{u(c_t)+\lambda [F(K_{t+1},E_t-E_{i,t+1})-E_{j,t+1}]\}+\max_{c_{t+1},...,c_{T}}\{\sum_{t+1} \ [\beta^{t+1}u(c_{t+1})+\sum_i\lambda_{it}[F(K_{t+1},E_t-E_{i,t+1})-E_{j,t+1}]]\} $$

o $$V_t(k_t)=max_{c_t}\{u(c_t)+\lambda [F(K_{t+1},E_t-E_{i,t+1})-E_{j,t+1}]+V(k_{t+1})\}$$