Derivación de la fórmula de replicación estática

Question

Sé que una forma de calcular el precio de un derivado pagando $S^2$ en el momento $T$ es haciendo uso de la siguiente estrategia:

$V=\int_{0}^{\infty} s^2 \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}(K=s)ds$

Dónde $\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}(K=s)$ es simplemente la distribución neutral al riesgo de $S$ .

Ahora, hay que aplicar la integración por partes dos veces para obtener una integral de los precios de compra. Mi pregunta es, ¿cuál es el nombre de esta estrategia/fórmula? ¿Dónde puedo encontrar una derivación de la misma?

EDITAR: Integrando por partes una vez, obtengo:

$V=\left[ s^2 \frac{\partial C}{\partial K}(K=s) \right]^{\infty}_{0} -\int_{0}^{\infty} 2s \frac{\partial C}{\partial K}(K=s)ds$

El primer término es cero, pero no sé por qué. ¿Puede dar una explicación, por favor? Ahora integrando por partes una segunda vez la primera derivada debería convertirse simplemente en el precio de las opciones. Pero como no sé por qué el primer término es cero dudo en continuar la derivación. ¿Puede ayudarme con los siguientes pasos? EDITAR: Teniendo en cuenta la respuesta proporcionada, el primer término es cero,

$V= -\int_{0}^{\infty} 2s \frac{\partial C}{\partial K}(K=s)ds$

entonces integramos por partes una segunda vez:

$V= -\left(\left[2kC(k)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} 2 C(s)ds \right)$

Ahora, como

$C(k=\infty)=0$

Entonces:

$V= 2\int_{0}^{\infty}C(K=s)ds $

¿Es eso correcto?

Answer 1

Boceto de prueba para

$$ \lim_{S\rightarrow \infty} S^2 \frac{\partial C}{\partial K}(K=S) = 0. $$

Lo tenemos:

$$C(K) = E\left[(S_T-K)^+\right] = \int_K^\infty (u-K)f_{S_T}(u) du$$ $$ \frac{\partial C}{\partial K} = \int_K^\infty \frac{\partial }{\partial K}(u-K)f_{S_T}(u) du = -\int_K^\infty f_{S_T}(u) du =-(1-F_{S_T}(K))$$

$$ \frac{\partial C}{\partial K}(K=\infty) = 0 $$

A continuación, creo que hay que suponer que la CDF complementaria tiene una cola fina:

$$ \lim_{x\rightarrow \infty} x^2 (1-F_{S_T}(x)) = 0$$

En el caso de una distribución normal esto es cierto ya que, según a WolframAlpha tenemos: $$ \lim_{x\rightarrow \infty} x^2 {\rm erfc(x)} = 0.$$

Nota: Vea también esto Solución directa de Quant SE .

Answer 2

Dado que su pago sólo depende de $S_T$ se podría utilizar la fórmula Carr-Madan

$$f(S_T)=f(F_t) + f'(F_t) (S_T - F_t) + \int_0^{F_t} f''(K) (K-S_T)^+ \ d K + \int_{F_t}^{\infty} f''(K) (S_T-K)^+ \ d K$$

para obtener una fórmula de replicación estática. En tu ejemplo tienes $f(S_T)=S_T^2$ y por lo tanto $f'(F_t)=2F_t$ y $f''(F_t)=2$ . A continuación, elija $F_t=0$ para conseguirlo:

$$ S_T^2=\int_0^\infty2(S_T-K)^+\mathrm{d}K=2\int_0^\infty(S_T-K)^+\mathrm{d}K $$

Por lo tanto, se puede replicar la ganancia utilizando una cartera de bonos europeos. Tal vez esta solución sea más fácil que esta integración por partes.