Covariación cuadrática de dos procesos de Poisson correlacionados

Question

Dejemos que $N_t \sim \text{Poisson}(\lambda t)$ y $M_t \sim \text{Poisson}(\theta \lambda t)$ .

Sabemos que si $N$ y $M$ eran independientes, $dNdM = 0$ utilizando la identidad de polarización. También sabemos que $(dN)^2 = dN$ pero ahora que estos dos procesos están correlacionados, ¿cómo podemos calcular $dNdM$ ?

Pensé en la identidad de polarización y en ponerla en notaciones diferenciales y dado que $N+M$ es también un proceso de Poisson, podemos escribir $$\begin{align*} dNdM &= \frac{1}{2}\left[ \left(d(N+M)\right)^2 - (dN)^2 - (dM)^2 \right] \\ &= \frac{1}{2}\left[ d(N+M) - dN - dM \right] \end{align*}$$ Pero, ¿cómo podemos calcular $d(N+M)$ ?

Answer 1

(Sólo caso especial.)

Una forma especial de crear procesos de Poisson correlacionados es utilizar un idea de modelo de "choque" común .

Para $X$ , $Y$ y $Z$ procesos de Poisson independientes, definamos:

$$M = X+ Z, \; \; N = Y+Z.$$

Observamos que $M$ y $N$ son procesos de Poisson, pero que $M+N$ es no ( $2Z$ no es un proceso de Poisson).

También observamos que la correlación de Pearson entre $M_t$ y $N_t$ no depende del tiempo y siempre es positivo (ya que las intensidades son positivas):

$$\rho(M_t, N_t) = \frac{\lambda_Z}{\sqrt{(\lambda_X+\lambda_Z)((\lambda_Y+\lambda_Z)}}$$

Formalmente también obtenemos:

$$dMdN = (dX +dZ)(dY+dZ) = dXdY+dXdZ +dYdZ + (dZ)^2 = dZ.$$