¿Existe alguna manera de vincular el teorema del máximo de Berge con el teorema del sobre?

Question

El teorema de Berge establece:

Sea $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$, $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ una función conjuntamente continua, $C : \Theta \rightrightarrows X$ una correspondencia continua (tanto superior como inferior hemicontinua) de valor compacto. La función de valor maximizado y el maximizador son: $$V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$$ $$C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$$ Entonces, $V : \Theta \to \mathbb R$ es continua y $C^\ast : \Theta \rightrightarrows X$ es hemicontinua superior.

Según el Análisis Microeconómico de Varian (1992), página 490, el teorema del Envolvente es simplemente:

$$\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$$

$x(a)$ es el maximizador de $f(\cdot, a)$.

Parece que el teorema del Envolvente implica el teorema de Berge, pero la derivación parece ser mucho más simple. ¿Existe alguna relación entre los dos?

Answer 1

Están relacionados y generalmente entran en la misma discusión, pero como @Alecos menciona en los comentarios, los dos teoremas muestran cosas diferentes.

Supongo que la conexión que estás buscando es el hecho de que si la derivada $$ \left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)} $$ existe, entonces porque la diferenciabilidad implica continuidad, podrías ser capaz de obtener parte del teorema del máximo a partir de ello. Sin embargo, para comparar y contrastar dos teoremas no solo debes mirar los resultados. También necesitas mirar las suposiciones. Por ejemplo, el teorema del máximo no asume ningún tipo de diferenciabilidad. El teorema del sobre sí lo hace (al menos algunas de sus formas). En cualquier caso, las suposiciones que entran en cada uno son diferentes (algunas más fuertes, otras más débiles).

También está esto. El teorema del sobre no te dice nada sobre la función de control. Por lo tanto, definitivamente no podrás obtener el resultado de que $C^*$ es superior hemicontinuo.

Answer 2

Citando al OP de un comentario

¿Qué tipo de condiciones en la función de utilidad y la restricción nos permiten aplicar el teorema del sobre solo después de haber establecido la continuidad de la función de valor por el teorema de Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

En el papel referenciado de Lucas (1978), la Proposición 1 establece que

donde $v(z,y;p)$ es la función de valor, y $(i)$ es su definición. Parece que la continuidad de la función de Precio es la condición específica aquí, pero más temprano en el papel Lucas define la función de Utilidad como una función no negativa que es

continuamente diferenciable, acotada, creciente y estrictamente cóncava

La Proposición 2 del papel establece la diferenciabilidad de la función de valor, sin requerir más suposiciones.