Cuestión de monopolio con discriminación de precios

Question

Un monopolista con discriminación de precios vende en dos mercados. La demanda inversa en el mercado 1 viene dada por: $$P_1(Q_1) = 80 - (1/2)Q_1$$ y la demanda inversa en el mercado 2 viene dada por: $$P_2(Q_2) = 100 - Q_2$$ La función de costes del monopolista es $C(Q) = (Q_1 + Q_2)^2$
a. Formule la función del monopolio como una función de $Q_1$ y $Q_2$ .
b. Calcule la cantidad vendida que maximiza el beneficio del monopolio en los mercados 1 y 2 y los precios correspondientes.

Ahora supongamos que el gobierno prohíbe la discriminación de precios, por lo que el monopolista sólo puede fijar un único precio para los dos mercados.

c. Calcule el precio y la cantidad del monopolio.
d. ¿Cuánto se vende en el mercado 1 y en el mercado 2, respectivamente?
e. ¿La intervención del gobierno fue beneficiosa para el bienestar social o no?

a. Esto es sencillo. $$= Q_1(80 - Q_1/2) + Q_2(100 - Q_2) - (Q_1 + Q_2)^2$$ b. Esto lo creí sencillo: poner MR = MC. Así, $$MR_1 = 80 - Q_1$$ $$MR_2 = 100 - 2Q_2$$ $$MC_1 = 2Q_1$$ $$MC_2 = 2Q_2$$ que da $$(Q_1, Q_2, P_1, P_2) = (\frac{80}{3}, 25, \frac{200}{3}, 75)$$ c. Aquí es donde empiezo a liarme un poco. Configurando $P_1 = P_2$ da una función de demanda total $$Q_1 + Q_2 = Q = 260 - 3P$$ A continuación, resuelvo el precio y obtengo $$MR = \frac{260}{3} - \frac{2Q}{3}$$ y $$MC = 2Q$$ Por lo tanto, me queda $$(P,Q) = (75.8333, 32.5)$$

Sin embargo, me parece que debo haber cometido un error. El beneficio cuando el monopolista puede discriminar los precios acaba siendo menor que el beneficio cuando se limita a un solo precio. Esto no puede ser así, ¿en qué me equivoco? ¿Mi metodología es incorrecta?

Answer 1

MC = 2Q1 + 2Q2 para ambas funciones de demanda. Establezca MR1 = 2Q1 + 2Q2, y MR2 = 2Q1 + 2Q1 y entonces tendrá un sistema de 2 incógnitas y 2 ecuaciones. La solución acaba siendo Q1 = 15, P1 = 72,5, Q2 = 17,5, P2 = 82,5. En este caso Beneficios bajo PD > Beneficios bajo precio único. Nos vemos mañana en el 468.

Answer 2

Creo que si el gobierno prohíbe la discriminación de precios, entonces la suma de RM en cada mercado debería ser igual al MC: $$2(Q_1+Q_2) = 180 - Q_1 - 2Q_2$$ Además, el precio en cada mercado debe ser el mismo: $P_1 = P_2$ . Por lo tanto: $$ 80-Q_1/2 = 100-Q_2$$ . Alineando estas dos ecuaciones obtenemos $$Q_1 = 20; Q_2 = 30; P_1=P_2 = 70.$$ Espero que esto ayude.