¿Bajo qué medida las ecuaciones diferenciales estocásticas SABR

Question

El modelo SABR es un proceso de activos de Cox de elasticidad constante (CEV) con volatilidad estocástica lognormal correlacionada. Un tipo de interés a plazo $F(t,T)$ al tiempo $T$ observado en $t$ y la volatilidad instantánea, $\sigma(t)$ siguen las ecuaciones diferenciales estocásticas \begin{align} &dF(t,T)=\sigma(t)F(t,T)^\beta dW_F(t) \label{eq:true_sabr_model1} \\ &d\sigma(t)=\xi\sigma(t)dW_\sigma(t) \label{eq:true_sabr_model2} \end{align} donde como parámetro $\rho$ representa la correlación instantánea entre los movimientos brownianos estándar $W_F(t)$ y $W_\sigma(t)$ ( $\langle dW_F(t)dW_\sigma(t)\rangle=\rho dt$ ).

Mi pregunta es si los movimientos brownianos en el modelo SABR bajo la medida física $P$ o la medida neutral de riesgo $Q$ ? No encuentro nada al respecto en el documento original. ¿Puede alguien ayudarme con una referencia en la que se indique explícitamente?

Answer 1

El tipo de interés a plazo simple $F_n(t) = F(t, T_n, T_{n+1})$ es una martingala bajo la medida $Q^{T_{n+1}}$ lo que significa que el numerario asociado es el bono de cupón cero $P(t, T_{n+1})$ .

En el modelo SABR, el tipo de interés a plazo $F_n(t)$ se supone que evoluciona bajo la medida asociada $Q^{T_{n+1}}$ según:

\begin{aligned} dF_n(t) &= \sigma(t) \cdot F_n(t)^{\beta} \cdot dW^{Q^{T_{n+1}}}_n(t),\\ d\sigma(t) &= \xi \cdot \sigma(t) \cdot dZ^{Q^{T_{n+1}}}(t) \end{aligned}

Por favor, fíjate en las diferencias con tus ecuaciones.