Estática comparativa de un monopolio

Question

Consideremos un monopolista que maximiza el beneficio con una demanda lineal Q(P*) y un coste total de producción C(Q(P*)) que se enfrenta a un impuesto unitario t. Supongamos que la pendiente del coste marginal es decreciente en algún parámetro, . Sea P* la elección del precio que maximiza el beneficio del monopolista. Tenga cuidado de explicar su método e interpretar su resultado, y determine la estática comparativa:

²P*/t

Llegué a P*= precio Q = Q(P*) t=t(Q(P*)) C=C(Q(P*))

max = P*(Q(P*))-C(Q(P*))-t(Q(P*))

d/dP* = Q'(P*)[-C'(Q(P*))-t'(Q(P*))+P*]+Q(P*)=0 d/dP* = + Q'(P*)[-t'(Q(P*))+P*]+Q(P*)

Equilibrum: PQ'(P)=t'(Q(P*))Q(P))--Q(P*)

P* = t'(Q(P*))- /(Q'(P*)) - Q(P*)/Q'(P*)

Hasta aquí llegué, cuando resolví la diferenciación parcial estática comparativa obtuve una respuesta de 0, no creo que esto sea correcto, ¿alguien puede ayudarme a resolver esto? ¡Gracias!

Si el 0 es de alguna manera la respuesta correcta, ¿qué significa?

Answer 1

La función de beneficio viene dada por:

$$ \pi = PQ(P) - C(Q(P), \mu) - tQ(P) $$ Supongamos que la demanda es lineal, s $$ p = \alpha - \beta Q \to Q = b(\alpha - P), $$ donde $b = 1/\beta$ . Así que: $$ Q_P = -b, $$ donde utilizo subíndices para denotar las derivadas parciales.

La condición de primer orden para la maximización del beneficio da: $$ \begin{align*} &Q + P Q_P - C_Q Q_P - t Q_P = 0,\\ \iff &Q - b P + b C_Q + bt = 0 \end{align*} $$ entonces diferenciando esto con respecto a $t$ da: $$ \begin{align*} &(Q_P - b + b C_{QQ} Q_P)\frac{\partial P}{\partial t} + b = 0,\\ \to &(-2b - b^2 C_{QQ})\frac{\partial P}{\partial t} = -b,\\ \to &\frac{\partial P}{\partial t} = \frac{1}{2 + b C_{QQ}} \end{align*} $$ Diferenciando la condición de primer orden con respecto a $\mu$ da: $$ (Q_P - b + b C_{QQ} Q_P)\frac{\partial P}{\partial \mu} + b C_{Q\mu} = 0,\\ \to (-2b - b^2 C_{QQ})\frac{\partial P}{\partial \mu} = - b C_{Q\mu},\\ \to \frac{\partial P}{\partial \mu} = \frac{C_{Q,\mu}}{2 + b C_{QQ}} $$

Entonces, diferenciando $\frac{\partial P}{\partial t}$ una vez más con respecto a $\mu$ da: $$ \frac{\partial^2 P}{\partial t \partial \mu} = -\frac{1}{(2 + bC_{QQ})^2}b\left(C_{QQQ}Q_P \frac{\partial P}{\partial \mu}+ C_{QQ\mu}\right),\\ = -\frac{1}{(2 + b C_{QQ})^2}b \left(-b C_{QQQ} \frac{C_{Q,\mu}}{2 + b C_{QQ}} + C_{QQ\mu} \right) $$ Donde la última línea utiliza la expresión para $\frac{\partial P}{\partial \mu}$ desde arriba.

Supongamos ahora que los costes adoptan la forma $$ C(Q, \mu) = \delta + \eta Q + \frac{\gamma(\mu)\, Q^2}{2} $$ Así, la pendiente de los costes marginales depende de $\mu$ . Entonces $C_{QQ} = \gamma(\mu)$ , $C_{QQQ} = 0$ y $C_{QQ\mu} = \gamma_\mu$ Así que..: $$ \frac{\partial^2 P}{\partial t \partial \mu} = -\frac{b \gamma_\mu}{(2 + b \gamma)^2}. $$ Tenemos que $\gamma_\mu < 0$ por supuesto (la pendiente disminuye en $\mu$ ) entonces vemos que el signo de $\frac{\partial^2 P}{\partial t \partial \mu}$ es positivo (al menos si no he cometido ningún error).