Según Duffie, Pan y Singleton (2000) para cualquier número real $y$ y cualquier $a$ y $b \in \mathbb{R}^n$ el precio de un valor que paga $\exp(aX_t)$ en el momento $T$ en el caso de que $bX_t \leq y$ está dada por:
$$G_{a,b}(y;X_{0},T,\chi)=\frac{\psi^{\chi}(a, X_{0}, 0, T)}{2}-\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{\operatorname{Im}\left [ \psi^{\chi} (a + \operatorname{i}vb,X_{0}, 0, T)e^{-ivy} \right ]}{v}dv$$
Dónde:
- $X$ es un $n$ -proceso de difusión de saltos afines;
- $\psi^{\chi}(\cdot)$ es la función característica de $X_T$ con la condición de $X_t=x$ ;
- $\operatorname{Im}(\theta)$ determina la parte imaginaria de $\theta \in \mathbb{C}$ ;
- $v \in \mathbb{R}$
Como ejemplo, muestran que el precio $p$ en la fecha $0$ de una opción de compra con pago $[\exp(dX_T)-c]^{+}$ en la fecha $T$ para un determinado $d \in \mathbb{R}$ y huelga $c$ está dada por:
$$p=G_{d,-d}(-\ln c)-cG_{0,-d}(-\ln c)$$
Mi pregunta es: cómo se puede identificar el parámetro $d$ en la práctica ?
Por ejemplo: supongamos que estamos en un mundo Black-Scholes donde el tipo de interés $r$ se pone a cero. Esto significa que:
$$\ln S_{T} \sim N \left ( \ln S_t - \frac{1}{2}\sigma^2(T-t), \sigma^2(T-t) \right )$$
Si definimos el precio del subyacente de una opción de compra como $S_t = \exp(dX_t)$ y sabemos $\ln S_t, K, \sigma$ y $T-t$ ¿es posible recuperar el valor de $d$ para fijar el precio de la opción de compra aplicando el modelo especificado anteriormente?
