Fórmula Gamma PnL y volatilidad del punto de equilibrio

Question

Cuando derivamos la P&L de una opción con cobertura delta obtenemos:

$$\text{P&L}=\dfrac{1}{2}\Gamma(\delta S)^{2}-\theta\delta t$$

y poniendo igual a cero y reordenando obtenemos:

$$\dfrac{1}{2}\Gamma(\delta S)^{2}-\theta\delta t =0$$ $$\implies\dfrac{1}{2}\Gamma(\delta S)^{2} =\theta\delta t\ $$ $$\implies(\delta S)^{2} =2\dfrac{\theta\delta t}{\Gamma}$$ $$\implies\delta S =\sqrt{\dfrac{2\theta\delta t}{\Gamma}}$$

Supongamos que $$\delta t = 1\text{ day}$$

de manera que obtengamos que el movimiento diario de equilibrio del subyacente sea:

$$\delta S_{Break-Even} =\sqrt{\dfrac{2\theta}{\Gamma}}.$$ Mi pregunta es la siguiente. Supongamos, para concretar, que $\Gamma$ y $\theta$ son tales que nuestro punto de equilibrio se mueve diariamente, $\delta S_{Break-Even}$ es 10. ¿Significa esto que nos encontramos en situación de equilibrio cuando el precio del subyacente al final del día ha variado en 10 o más, o significa que simplemente tenemos que realizar un cambio total de 10 a lo largo de ese día (pero no necesariamente terminar el día con un precio que difiera en 10)? Por ejemplo: si el subyacente comienza el día en 20 y sigue el camino: 20 -> 22 -> 20 -> 26, entonces hemos realizado un total de 2 + 2 + 6 = 10 si sumamos cada incrmento individual (frente a 26-20=6 como cambio total).

Answer 1

¡Buena pregunta! La respuesta es no. Veamos un ejemplo sencillo para ver por qué. Supongamos que la Gamma es $10$ y que el movimiento de equilibrio es $1$ . Para simplificar, también se supone que, estos no cambian por los movimientos de precios en el subyacente (esto es razonablemente preciso para los pequeños movimientos de precios), por lo que:

• $\Gamma = 10$
• $\delta S_{Break-Even} = 1$

Tenga en cuenta que se trata de una cartera con cobertura Delta, por lo que el valor inicial de Delta es $0$ es decir $\Delta = 0$ . Sin embargo, una vez que el precio se mueve, la Delta será igual a la Gamma por el movimiento del precio, es decir: $\Delta = \Gamma \times \delta S$ . Por lo tanto, una vez que se produce el movimiento de equilibrio (es decir, cuando $\delta S = \delta S_{Break-Even}$ ), la Delta será igual a la Gamma por el movimiento de equilibrio, es decir $\Delta = \Gamma \times \delta S_{Break-Even} = 10 \times 1 = 10$ . Esto significa que, cuando se cubra con el sistema Delta para fijar el punto de equilibrio, la entrada de efectivo será $\Delta \times \delta S_{Break-Even} = 10 \times 1 = 10$ . Por lo tanto, en este ejemplo, hay que hacer $10$ unidades monetarias para alcanzar el equilibrio.

Ahora, veamos qué ocurre si el precio cambia en cambio la MITAD de un movimiento de equilibrio, es decir $\delta S = 0.5$ . Como antes, el delta se convierte en $\Delta = \Gamma \times \delta S = 10 \times 0.5 = 5$ . Si se hace una cobertura Delta para bloquear este movimiento, la entrada de efectivo será $\Delta \times \delta S = 5 \times 0.5 = 2.5$ .

Como puede ver, cuando se bloquea el beneficio de la mitad de un movimiento de equilibrio, es igual a una cuarta parte del beneficio de un movimiento de equilibrio completo, no a la mitad. Esto se debe a que usted bloquea un movimiento de precio más pequeño en un volumen más pequeño (en este caso, la mitad del movimiento de precio en la mitad del volumen naturalmente le da un cuarto de la ganancia). Por lo tanto, si su estrategia de cobertura es bloquear el beneficio con más frecuencia, necesitará un mayor número de movimientos más pequeños y el movimiento total que necesita será mayor que un movimiento de equilibrio.