Empecemos por escribir las funciones de beneficio: $$ \pi_1 = p_1 q_1 - c_1 q_1 = (p_1 - c_1) q_1 = (p_1 - c_1)(a_1 + b_{11} p_1+b_{12} p_2) $$ y similares: $$ \pi_2 = (p_2 - c_2)(a_2 + b_{21} p_1 +b_{22} p_2) $$
En un equilibrio simultáneo ambas empresas maximizan simultáneamente sus beneficios tomando las estrategias de los jugadores como dadas.
Haciendo esto se obtendrá una mejor respuesta del jugador 1 que estará en función de $p_2$ : $p_1 = p_1^\ast(p_2)$ . Del mismo modo, la mejor respuesta del jugador 2 será una función de $p_1$ : $p_2 = p_2^\ast(p_1)$ . En un equilibrio de Nash, se busca una solución para ambas ecuaciones simultáneamente: $$ p_1 = p_1^\ast(p_2),\\ p_2 = p_2^\ast(p_1). $$
En un equilibrio secuencial Por otro lado, se supone que una empresa, digamos 1, elige $p_1$ la primera y la siguiente empresa 2 decide en $q_2$ tras ser informado sobre el valor de $q_1$ elegido por la empresa 1. La empresa 1, sin embargo, es lo suficientemente inteligente como para poder predecir la acción óptima que la empresa 2 va a tomar en la etapa 2.
Por lo tanto, resolvemos el juego por inducción hacia atrás, resolviendo primero para la empresa 2, dando $p_2 = p_2^\ast(p_1)$ y luego lo sustituimos en la función de beneficios de la empresa 1. $$ \pi_1 = (p_1 - c_1)(a_1 + b_{11} p_1+b_{12} p_2^\ast(p_1)) $$ Esta sustitución se ajusta al hecho de que el jugador 1 sabe que al elegir $p_1$ influirá en el precio de la empresa 2. Así, la empresa 1 tiene en cuenta el comportamiento futuro de la empresa 2 a la hora de elegir su nivel óptimo de $q_1$ .
Maximizar $\pi_1$ con respecto a $p_1$ dará un valor óptimo $p_1^\ast$ (que ya no será una función de $p_2$ ).
A continuación, para calcular el equilibrio, se sustituye este valor por la mejor respuesta de la empresa 2: $$ p_2 = p_2^\ast(p_1^\ast). $$
