El vector de diferencias de las integrales del movimiento browniano es normal multivariante

Question

Dado un proceso Wiener bidimensional $(W_{1},W_{2})$ con correlación $\rho$ .

Dejemos que \begin{equation*} X(t):= F(t) + \int_{0}^{t} f(s) dW_{1}(s) + \int_{0}^{t} g(s) dW_{2}(s)\end{equation*} para algunas funciones deterministas suficientemente agradables $F$ , $f$ y $g$ . Dejemos ahora $0<t_{1}<t_{2}<\ldots < t_{n+1}$ y $k\in\{1,2,\ldots,n+1 \}$ . Definimos $X_{i}:=X(t_{i})$ y \begin{equation*} Y_{k}:= (X_{k}-X_{i})_{i\neq k}=(X_{k}-X_{1},\ldots,\widehat{X_{k}-X_{k}},\ldots,X_{k}-X_{n+1})\in\mathbb{R}^{n}. \end{equation*} Me gustaría entender la siguiente afirmación:

$Y_{k}$ tiene una distribución normal multivariante.

Cualquier ayuda o referencia será muy apreciada.

Como seguimiento:

Me imaginé que la definición de proceso Wiener bidimensional $(W_{1},W_{2})$ con correlación $\rho$ no me queda muy claro. Supongo que $W_{1}$ y $W_{2}$ siendo procesos Wiener unidimensionales y $corr(W_{1}(t),W_{2}(t))=\rho$ no es suficiente, ¿no?

Yo asumiría que tenemos que asumir que $(W_{1}(t),W_{2}(t))$ tiene una distribución normal bidimensional con media 0.

En general, ¿existe una definición estándar para un proceso de Wiener n-dimensional con correlación? Si es así, me gustaría tener algunas referencias.

Si no, mi opinión sería que un proceso estocástico n-dimensional $W=(W_{1},\ldots,W_{n})$ es un proceso n-dimensional con:

1. $W(0)=0$ a.s.
2. $W_{t}$ a.s.-continuo
3. los incrementos son independientes
4. $W_{t}-W_{s}\sim N(0,\Sigma)$ , para $t>s$

donde

$\Sigma$ es una matriz positiva-definida y simétrica con elementos diagonales iguales a $t-s$

Answer 1

Como se ha señalado anteriormente, el vector aleatorio $Y_k$ es multinormal si para cualquier combinación \begin{align*} \sum_{i\ne k} a_i (X_k-X_i) \tag{1} \end{align*} es normal. WLOG, suponemos que $1<k<n+1$ . Tenga en cuenta que \begin{align*} \sum_{i\ne k} a_i (X_k-X_i) &=-\sum_{i\ne k}a_i X_i +X_k \sum_{i\ne k} a_i\\ &=-a_{n+1}(X_{n+1}-X_n)\\ &\quad -(a_{n+1}+a_n)(X_n-X_{n-1})\\ &\quad - \cdots \\ &\quad -\sum_{i=k+1}^{n+1} a_i(X_{k+1}-X_k)\\ &\quad +\sum_{i=1}^{k-1}a_i(K_k-X_{k-1})\\ &\quad +\cdots\\ &\quad +a_1(X_2-X_1). \end{align*} Desde $(W_1, W_2)$ es un movimiento browniano bidimensional, por descomposición Cholesky, \begin{align*} W_1(t) &= B_1(t),\\ W_2(t) &= \rho B_1(t) + \sqrt{1-\rho^2}B_2(t), \end{align*} donde $B_1$ y $B_2$ son dos movimientos brownianos independientes. Entonces para $i=2,\ldots, n+1$ , \begin{align*} X_i-X_{i-1} &= F(t_i)-F(t_{i-1}) + \int_{t_{i-1}}^{t_i}f(s)dW_1(s) + \int_{t_{i-1}}^{t_i}g(s)dW_2(s)\\ &= F(t_i)-F(t_{i-1}) + \int_{t_{i-1}}^{t_i}(f(s)+\rho g(s))dB_1(s) + \int_{t_{i-1}}^{t_i}\sqrt{1-\rho^2}g(s)dB_2(s) \end{align*} es normal. Además, como \begin{align*} (X_2-X_1),\, \ldots, \, (X_{n+1}-X_n) \end{align*} son independientes, sus combinaciones \begin{align*} \sum_{i\ne k} a_i (X_k-X_i) \end{align*} también es normal. Eso es, $Y_k$ es multinormal.