Ayuda para interpretar los métodos de un determinado trabajo académico

Question

¿Alguien ha leído el documento "Distribución del riesgo en los mercados financieros: mejor invertir en la periferia", por F. Pozzi, T. Di Matteo y T. Aste ? Si es así, ¿cómo interpreta la ecuación (1) en la subsección de la medida de dependencia de la sección de Métodos? Parece que produce una cifra de correlación media:

\begin{equation} \bar{R}_{ij}^w(t)=\frac{1}{2(\tau + 1)} \left( \sum_{s=t-\tau}^t R^w_{ij}(s) + \sum_{i=1}^{j-1} \sum_{j=2}^{N} \sum_{s=t-\tau}^t \frac{2 R_{ij}^w(s)}{N(N-1)} \right).\\ \end{equation}

Esa cifra media puede utilizarse entonces (utilizando métodos de otras partes del documento y de los documentos citados, en particular la cita 9, con la que me siento cómodo) para formar una matriz de covarianza y correlación reducida. ¿Es esto correcto? O bien, ¿la ecuación produce valores promedio para cada una de las correlaciones por pares, lo que resulta, por sí mismo, en una matriz de correlación reducida?

Realmente no espero muchas respuestas, pero cualquier cosa se agradece, gracias.

Answer 1

Interpretación:

Los autores reducen la media de 6 meses de las correlaciones suavizadas exponencialmente hacia la correlación media de la muestra. Por lo tanto, su segunda formulación es correcta, en el sentido de que ecuación (1) ya contiene contracción.

La base de mi afirmación proviene de las siguientes derivaciones. Aquí, destaco cómo se puede recuperar ecuación (1) utilizando la ecuación de contracción que se encuentra en el documento de Ledoit y Wolf (2003) .

---

Base de mi declaración:

Voy a redefinir algunas de las afirmaciones del documento para completarlo. Ellos definen los momentos ponderados exponencialmente suavizados como:

$$\sum_{s=t-\tau}^t w_s f^w\left(r(s)\right),$$

con $w_s$ siendo los pesos exponenciales, $r(s)$ siendo los rendimientos diarios y $f(\cdot)$ siendo (en nuestro caso) el sumando de la función de correlación empírica. Si tomáramos la media empírica sobre la función anterior obtenemos:

$$\bar{f}^{w}(t)=\frac{1}{\tau + 1}\sum_{s=t-\tau}^t w_s f^w\left(r(s)\right).$$

La formulación anterior suma sobre $\tau + 1$ elementos, ya que para $\tau = 0$ la suma contiene un elemento.

La ecuación de la contracción:

Podemos definir la ecuación de contracción con $F$ siendo el objetivo y $S$ siendo la correlación muestral suavizada exponencialmente. En este caso, establecemos $\delta = \frac{1}{2}$ y ver eso:

\begin{align} \bar{R}_{ij}^w(t) &= \delta F + (1-\delta) S\\ &= \frac{1}{2} \left(F + S\right)\\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{(N-1)N}\sum_{i=1}^{j-1} \sum_{j=2}^{N} R_{ij}^w(t) + R^w_{ij}(t)\right), \end{align}

donde puede encontrar la fórmula para la correlación media de la muestra en el documento original de Ledoit y Wolf (2003) ( anexo A ).

El promedio de los últimos $\tau$ meses nos dan la ecuación(1) :

\begin{align} \bar{R}_{ij}^w(t)&=\frac{1}{2} \left( \frac{2}{(N-1)N} \frac{1}{\tau + 1}\sum_{i=1}^{j-1} \sum_{j=2}^{N}\sum_{s=t-\tau}^t R_{ij}^w(s) + \frac{1}{\tau + 1}\sum_{s=t-\tau}^t R^w_{ij}(s)\right)\\ &=\frac{1}{2(\tau + 1)} \left( \frac{2}{(N-1)N} \sum_{i=1}^{j-1} \sum_{j=2}^{N}\sum_{s=t-\tau}^t R_{ij}^w(s) + \sum_{s=t-\tau}^t R^w_{ij}(s)\right),\\ \end{align}

donde la interpretación de la suma triple puede verse como la media de 6 meses de las correlaciones muestrales promediadas por pares. Los autores establecen $\tau = 125$ días que son 6 meses.

Como ventaja adicional Los autores definen además la matriz de covarianza ponderada promediada con contracción en el capítulo S.5 del material suplementario. Además, definen $P^w$ como una matriz diagonal con varianzas ponderadas promediadas sobre la diagonal principal definida como $(\bar{s}_{kh}^w)^2=\frac{1}{\tau + 1}\sum_{k=t-\tau}^t (\hat{s}_{kh}^w)^2$ .