Precios neutrales al riesgo y arbitrajes estadísticos

Question

Estoy estudiando el enfoque de martingala para la fijación de precios de los activos. Al tratar el concepto de probabilidad neutral al riesgo, me surgió una pregunta sobre la posibilidad de "arbitrajes en expectativa". Seré más preciso con un ejemplo (quizás demasiado simplista):

Consideremos un marco de tiempo discreto con sólo dos puntos $t=0$ (hoy) y $t=1$ (mañana). En este contexto, consideramos un mercado compuesto por

• un activo sin riesgo $B$ cuyo precio viene dado por: $B(0)=1, B(1)=1+r$
• un activo de riesgo $S$ cuyo precio a día de hoy viene dado por: $S(0)=1$ y mañana el precio será determinado por un sorteo de monedas: $S(1)=10$ Si la cabeza, $S(1)=0$ de lo contrario.

Considere que el mercado fija el valor de $r$ igual a $0.06$ .

La dinámica de los activos de riesgo se da bajo una "probabilidad física" $P$ .

Para tener una fijación de precios sin arbitraje tenemos que encontrar una medida de probabilidad martingala $Q$ es decir $Q$ s.t:

$\frac{1}{1+r}\mathbb{E}^Q[S(1)|\mathcal{F}_0]=S(0)$

El espacio muestral en este contexto sencillo es $\Omega=\{head, tail\}$ .

• Bajo la probabilidad física $P(head)=P(tail)=0.5$ .
• Bajo la probabilidad de martingala $Q(head)=0.106$ y $Q(tail)=0.894$

Ahora queremos valorar un derivado sobre S, por ejemplo una opción de compra EU con strike $5\$$ . La recompensa de esta opción será $\Phi(s_1)=(s_1 - 5)^+$ .

Según la probabilidad física $P$ el valor esperado de este contrato hoy es

$\mathbb{E}^P_0[\Phi(S(1))]=0.5 \cdot 5 + 0.5 \cdot 0=2.5\$$ .

Así, el precio que daría al contrato es $\frac{2.5}{1.06} \$ \N - Aproximadamente 2,36 \$ $

Sin embargo, éste no será el precio de mercado de este contrato: bajo la condición de ausencia de arbitraje, su precio vendrá dado por la expectativa descontada en relación con el tiempo. $Q$ es decir:

$\frac{1}{1.06}\mathbb{E}^Q_0[\Phi(S(1))]= \frac{0.106 \cdot 5 + 0.894 \cdot 0}{1.06} =0.5\$ $

Esto me parece extraño. Parece que tengo la oportunidad de hacer una especie de "arbitraje de expectativas" en el sentido de que mi rendimiento esperado de la inversión es mucho mayor que lo que tengo que invertir.

Sé que este ejemplo es muy simplista, pero este fenómeno parece mantenerse en general. Leyendo muchos recursos sobre la medida libre de riesgo entendí que esta nueva medida sobre el espacio muestral de posibles resultados (el "conjunto de estados potenciales del mundo") tiene en cuenta la aversión al riesgo de los mercados, en el sentido de que la gente quiere pagar menos por activos muy arriesgados. Sin embargo, esto abre la posibilidad al mencionado "arbitraje estadístico". En abstracto, si hay un mercado con una infinidad de acciones muy arriesgadas, entonces un comerciante rico debería comprar una opción de compra sobre cada acción y, por la Ley de los Grandes Números, ganar dinero con seguridad (es obviamente una abstracción, pero esta captura es lo que quiero decir con "arbitraje estadístico").

No consigo entender en qué falla este razonamiento. La pregunta es: ¿estoy malinterpretando el significado real de la fijación de precios sin arbitraje o la única razón por la que esto me parece extraño es que me falta algún punto de vista económico / "relacionado con el mundo de los mercados reales"?

Answer 1

Lo que dices es perfectamente cierto y no hay ninguna contradicción. Arbitraje significa beneficio sin riesgo, por lo que tu "arbitraje estadístico" no es en absoluto un arbitraje. Sólo dice que si se asume el riesgo, los beneficios esperados pueden ser mayores que la tasa libre de riesgo. Cuánto más alto depende de la aversión al riesgo de los participantes en el mercado.

Answer 2

"No puedo entender en qué falla este razonamiento. La pregunta es: ¿estoy malinterpretando el significado real de la fijación de precios sin arbitraje o la única razón por la que esto me parece extraño es que me falta algún punto de vista económico / "relacionado con el mundo de los mercados reales"?"

En contraposición al primer comentario, creo que aquí se pierde algo un poco sutil. En primer lugar, la razón por la que se asume la libertad de arbitraje para fijar el precio es muy sencilla: Porque si no, no se puede determinar el precio de un activo en un sentido coherente y sensato. Supongamos que usted permite oportunidades de arbitraje en su modelo matemático. Entonces el precio de una posición que hace arbitraje debe ser arbitrariamente alto. Y el precio de una posición sin arbitraje tendría el precio 0 debido a los costes de oportunidad. Por lo tanto, para poder fijar el precio de una manera sensata, es necesario asumir la libertad de arbitraje. Así que en otras palabras: ¡Las probabilidades físicas posibles determinadas por su modelo están dadas por las medidas de martingala! Desde el punto de vista económico, se podría argumentar que esto se debe al hecho de que las probabilidades reales están implícitas en el precio determinado por el mercado.

Obviamente, los supuestos utilizados en los modelos matemáticos fallan de muchas maneras en la vida real. Y, por tanto, las probabilidades calculadas del modelo no son correctas o, al menos, no son precisas. Sin embargo, estimar las probabilidades con métodos estadísticos no es una salida fácil por dos razones:

1.) No hay forma de comprobar si su probabilidad estimada estadísticamente es precisa o "correcta". Puedes simplemente invertir y ver si ganas dinero, pero a posteriori no sabes si has tenido suerte o has hecho una buena estimación. Las leyes de potencia deberían cumplirse hasta cierto punto, pero, de nuevo, esto puede ser arriesgado.

2.) Las comisiones de las transacciones y el diferencial de los tipos de interés pueden mantener la libertad de arbitraje en el mundo real a pesar de los precios erróneos de los activos y las opciones.

Además, un activo de riesgo no tiene necesariamente una mayor rentabilidad esperada porque el riesgo tiene un precio. Cuando se realiza un arbitraje, normalmente se intenta apalancar la oportunidad de arbitraje y, por lo tanto, la rentabilidad en sí misma no desempeña un papel tan importante, sino más bien la relación entre el rendimiento y el riesgo, ya que se puede alcanzar la misma rentabilidad mediante el apalancamiento.