Simetría Put Call

Question

Quiero mostrar la Simetría Put Call sin utilizar la fórmula explícita de Black Scholes. En otras palabras, quiero mostrar

Call(t, x, K, T) = Pull(t, K, x, T)

donde $S_t = x$ para $t \in [0, T]$ .

Me dieron la pista para usar $\mathbb{E}_x[(S_T - K)^+] = xK \mathbb{E}_{1/x}[(\frac{1}{K} - S_T)^+]$ . Por eso he querido utilizar a Girsanov y concluir a partir de él $\mathbb{E}_x[(S_T - K)^+] = \mathbb{E}_{K}[(x - S_T)^+]$ se mantiene. Para simplificar, asumo que nuestro tipo de interés es cero y considero el modelo de Black Scholes con la filtración que genera el movimiento browniano. También he encontrado el documento de Peter Carr ( https://www.math.uchicago.edu/~rl/PCSR22.pdf ) pero no lo entendí realmente.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

El Black-Scholes La fórmula de simetría sólo es válida bajo Black-Scholes, como su nombre indica. Funciona sólo para un sistema lognormal $S$ . Para otros modelos, se pueden encontrar relaciones de simetría, pero serán diferentes.

He aquí una interpretación que le ayudará a relacionar el resultado con las distribuciones:

Caso Martingala

La relación de simetría es:

$$Call^{BS}(S_0, K, T) = Put^{BS}(K, S_0, T)$$

Porque la dinámica de una variable lognormal a partir de $K$ son los mismos que los de la variable lognormal a partir de $S_0$ si lo multiplicamos por $\frac{K}{S_0}$ podemos escribir el precio de venta como sigue:

$$Put^{BS} = \mathbb{E}\left[\left(S_0 - K \frac{S_T}{S_0}\right)^+\right] = \mathbb{E}\left[\frac{S_T}{S_0}\left(\frac{S_0^2}{S_T} - K\right)^+\right]$$

Por lo tanto, podemos expresar la simetría llamada-posición de la siguiente manera:

$$\mathbb{E}[(S_T - K)^+] = \mathbb{E}\left[\frac{S_T}{S_0}\left(\frac{S_0^2}{S_T} - K\right)^+\right]$$

Más generalmente, para toda función positiva $f$ : $$\mathbb{E}[f(S_T)] = \mathbb{E}\left[\frac{S_T}{S_0} f\left(\frac{S_0^2}{S_T}\right)\right]$$

Lo que podría interpretarse de la siguiente manera:

La ley de $S_T$ en $\mathbb{Q}$ es la misma que la ley de $\frac{S_0^2}{S_T}$ en $\mathbb{Q}^S$ que se define por su derivada de Radon-Nikodym: $\frac{d\mathbb{Q}^S}{d\mathbb{Q}} = \frac{S_T}{S_0}$

Esta interpretación responde a su pregunta de por dónde empezar con Girsanov.

Caso general

Sólo como referencia, en el caso de que la deriva $\mu$ no es cero, sino que $r$ o $r-q$ La idea es utilizar una potencia de S_T para obtener una martingala:

1. $S_t ^ \alpha$ es lognormal. Con el valor correcto de $\alpha$ puedes hacer una martingala. Es fácil demostrar que este valor es $\alpha_0 = 1 - \frac{2\mu}{\sigma}$

2. Para cada positivo dado $f$ : $$\mathbb{E}[f(S_T)] = \mathbb{E}\left[\left(\frac{S_T}{S_0}\right)^{\alpha_0} f\left(\frac{S_0^2}{S_T}\right)\right]$$

Answer 2

La simetría Put Call fue señalada por primera vez por David Bates en el escenario de Black Scholes de deriva neutral de riesgo cero. Sin embargo, se mantiene más allá de Black Scholes, pero no en todos los modelos. Es complicado describir completamente todos los modelos en los que se mantiene, pero aquí hay un par de condiciones simples suficientes más allá de Black Scholes de deriva cero para que la PCS se mantenga. Comience con el modelo Black sin arbitraje para los precios a plazo y trabaje con la medida a plazo para la cual los precios a plazo no tienen deriva. Obsérvese que la volatilidad instantánea es constante en el modelo Black 1976, a diferencia de la determinista. Ahora demuestre que el argumento probabilístico anterior se generaliza al caso en que la volatilidad instantánea es determinista en lugar de constante. A continuación, aleatorice de forma independiente la volatilidad instantánea en cualquier proceso estocástico, incluyendo los que saltan. Siempre que el condicionamiento de la evolución de la volatilidad instantánea reduzca la evolución del precio a plazo a la evolución determinista del vol Black del precio a plazo, el PCS sigue siendo válido. La correlación nula entre los incrementos de la vol instantánea y los incrementos del precio subyacente hace que la SCP falle. La dependencia arbitraria de los coeficientes de deriva, difusión o salto del vol instantáneo con respecto al precio subyacente también viola la SCP. Se permiten algunas dependencias especiales y hay que ver el artículo de Carr Lee sobre finanzas matemáticas para más detalles.

Answer 3

Creo que hay una respuesta mucho más fácil e intuitiva a esto que de alguna manera se está perdiendo.

Una opción de compra es rentable $\max(S_t-K,0)$ en el momento $t$ y una opción de venta se paga $\max(K-S_t,0)$ en el momento $t$ . Si compramos una opción de compra y vendemos una opción de venta, nuestro resultado es $\max(S_t-K,0) - \max(K-S_t,0)$ . Si piensas en ello durante más de un par de segundos, o simplemente dibujas el resultado, es claramente lineal:

$$\max(S_t-K,0) - \max(K-S_t,0) = S_t-K$$

Ahora tenemos un pago lineal, y sabemos que cuando $f(X)$ es lineal, entonces $\mathrm{E}[f(X)]=f(\mathrm{E}[X])$ (ver aquí ). Así pues, tenemos call larga y put corta = expectativa del spot en el momento t menos el strike, donde la expectativa del spot en t es el forward, donde tenemos que tener en cuenta que los valores de la call y la put están descontados a valor presente, por lo que tenemos que hacer lo mismo con el eventual pago, y multiplicar por $Z$ - el valor de $1 at time$ t$:

$$C - P = Z(F - K)$$

*Hay una advertencia aquí, que el descuento no está correlacionado con el subyacente.