¿Cuál es el rendimiento a escala de la función de producción q = min {K, L^(1/2)}?

Question

Aprendí que cuando hay rendimientos decrecientes a escala, el coste medio siempre aumenta.

Pero el profesor nos ha dicho hoy que lo contrario podría no ser siempre cierto. Así, si el coste medio aumenta, no significa necesariamente que haya rendimientos decrecientes a escala.

La función de producción $q = \min \{K, L^{(1/2)}\}$ fue uno que nos dio como algo en lo que pensar como posible contraejemplo.

asumimos que los precios de los insumos son 2 para el capital y 1 para la mano de obra.

Si resolvemos esto utilizando la minimización de costes, obtenemos $C(q) = 2q + q^2$ y el $AC(q) = 2 + q$ que es una función creciente.

Y si introduzco $kK, kL$ en la función de producción donde $k > 1$ entonces la función se convierte en

$q = \min \{kK, (kL)^{1/2}\} = \min \{kK, k^{1/2} * L^{1/2}\}.$

¿Cómo puedo saber qué rendimientos a escala muestra esto?

si la función min fuera simplemente $q = \min \{ K, L \}$ entonces podría decir definitivamente que esto está mostrando rendimientos constantes a escala ya que $\min \{kK, kL\} = k*\min\{K,L\}$ Pero, ¿cómo se resuelve matemáticamente el rendimiento a escala de una función como la anterior? $q = \min \{K, L^{1/2}\}$ ?

No sé qué paso dar después de llegar a $\min \{kK, k^{1/2} * L^{1/2}\}$ . No sé qué extraer de la función min a partir de este momento.

Agradecería que me aconsejaran sobre cómo seguir determinando los rendimientos a escala para este tipo de ejemplo.

Answer 1

Tienes una función de producción de Leontief y en el óptimo siempre tendrás $K=\sqrt{L}=q_1$ . Aumente ahora ambas entradas en el factor $k>1$ y se llega a $k*K > \sqrt{kL}=q_2$ donde la primera desigualdad se deduce de $k>\sqrt{k}$ para $k>1$ y la segunda ineqalidad del hecho de que sólo el mínimo importa en su función de producción. Por lo tanto, tiene $F(kK,kL)= \sqrt{kL}<kK=k\sqrt{L} =k*F(K,L)$ con cualquier combinación óptima de entrada $(K,L)$ y, por tanto, rendimientos decrecientes de la escala.

Answer 2

Para entender cuál es la cuestión aquí, intente examinar obedientemente todos los posibles subcasos de la función de producción.

La función de producción es

$$Q_0 = \min\{K_0, L_0^{1/2}\}$$ .

Considere los casos

A. $K_0 < L_0^{1/2}$

Aquí $Q_0 = K_0$ . Considere $Q_{\lambda }\equiv \min\{\lambda K_0, \lambda^{1/2}L_0^{1/2}\},\;\;\; \lambda>1.$

Subcaso A1.
Si $\lambda K_0\leq \lambda^{1/2}L_0^{1/2} \implies Q_{\lambda} = \lambda K_0 = \lambda Q_0$ y tenemos Constante Retorno a la escala. Esto sucede para $K_0 \leq \left(L_0/\lambda\right)^{1/2}$ .

Subcaso A2.
Si $\lambda K_0 > \lambda^{1/2}L_0^{1/2} \implies Q_{\lambda} = \lambda^{1/2}L_0^{1/2}$ y porque estamos en el caso $K_0\leq L_0^{1/2}$ y $\lambda >1$ tenemos $Q_{\lambda} > Q_0$ y tenemos Aumentar Reaurns to Scale. Esto sucede para $\left(L_0/\lambda\right)^{1/2}< K_0 < L_0^{1/2}$ .

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B. $K_0 > L_0^{1/2}$

Aquí $Q_0 = L_0^{1/2}$ . Considere $Q_{\lambda }\equiv \min\{\lambda K_0, \lambda^{1/2}L_0^{1/2}\},\;\;\; \lambda>1.$

Aquí, porque $\lambda >1$ , lo haremos siempre tienen $\lambda K_0 > \lambda^{1/2}L_0^{1/2} \implies Q_{\lambda} = \lambda^{1/2}L_0^{1/2} = \lambda^{1/2} Q_0$ y así obtenemos Disminución de Retorno a la escala.

C. $K_0 = L_0^{1/2}$

Aquí también, porque $\lambda >1$ estamos en la misma situación que en el caso B, por lo que Disminución de vuelve a la escala.

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Así que parece que el "punto de partida" (la situación de entrada para $Q_0$ ) importa -y por eso en la otra respuesta se invocó el comportamiento óptimo, para precisar en algún sentido este "punto de partida".