Derivación e intercambio de expectativas

Question

Me gustaría saber cuándo está permitido intercambiar derivación y expectativa. Supongamos que $X$ es alguna v.r. cuya dinámica está controlada por algún parámetro $\sigma$ y supongamos $h$ es una función suave de dos variables. ¿Es cierto lo siguiente? $$\frac{\partial \mathbb{E}\left[h(X,\sigma)\right]}{\partial \sigma} =\mathbb{E}\left[\frac{\partial h(X,\sigma)}{\partial \sigma} \right]$$

Creo que es un error (el operador de expectativas depende de $\sigma$ a través de la dinámica de $X$ ). Si $d\mathbb{P}_X(x)=p_{X,\sigma}(x)dx$ entonces tendríamos $$\frac{\partial \mathbb{E}\left[h(X,\sigma)\right]}{\partial \sigma} =\int \frac{\partial}{\partial \sigma}\left[h(X,\sigma)p_{X,\sigma}(x)\right]dx$$ que en general es diferente de $$\mathbb{E}\left[\frac{\partial h(X,\sigma)}{\partial \sigma} \right] =\int \frac{\partial h(X,\sigma)}{\partial \sigma}p_{X,\sigma}(x)dx$$

¿Podría alguien confirmar mi razonamiento?

Answer 1

Tomando el caso simple $ h(X,\sigma)= X $ (por tanto, no hay dependencia explícita de $\sigma$ el lado derecho es inmediatamente cero. El LHS no es cero si la expectativa de $X$ depende de $\sigma$ que fácilmente podría. Por ejemplo, $\ln(X) $ es normal( $\mu, \sigma$ )da un valor esperado de $\mu + 1/2 \sigma^2$ . Así que estoy de acuerdo en que la afirmación parece falsa en general.