Fijar el precio de un contrato

Question

Actualmente estoy tratando de fijar el precio de algunos tipos de contratos. Estoy atascado en el siguiente ejercicio, para el que parece que no encuentro una buena solución. Se supone lo siguiente:

• Estamos en un entorno BS estándar con $dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t)$ con $\mu, \sigma > 0$ .
• El tipo de interés es $0$ .
• El $Q$ dinámica son: $dS(t) = \sigma S(t) dW(t)^{Q}$ .
• La función de recompensa está dada como: $\left(\int_{0}^{T} \mathrm{e}^{a \cdot v}\ln(S(v))dv\right)^3$ .

La tarea consiste en encontrar la valoración neutral al riesgo.

Mi enfoque fue empezar a escribir la función RNV en nuestro caso, que es $$F(t,S(t))=\mathrm{e}^{-r(T-t)}E^{Q}[payoff] = E^{Q}\left[\left(\int_{0}^{T} \mathrm{e}^{a \cdot v}\ln(S(v))dv\right)^3\right]$$

Definir $X(t) = ln(S(t))$ y aplicando Ito, obtenemos $$\begin{align} dX(t) = \frac{1}{S(t)}dS(t) - \frac{1}{2S(t)^{2}}(dS(t))^2 &= \frac{1}{S(t)}(\sigma S(t) dW(t)^Q) - \frac{1}{2S(t)^{2}}(\sigma S(t) dW(t)^Q)^2\\ &= -\frac{1}{2}\sigma^{2}dt+\sigma dW(t)^{Q}\end{align}$$ Definir ahora $Y(t) = \mathrm{e}^{a \cdot t}X(t)$ . Aplicando Ito, obtenemos $$\begin{align} dY(t) &= a\mathrm{e}^{a \cdot t}X(t)dt+\mathrm{e}^{a \cdot t}d(X(t)) =aY(t)dt+\mathrm{e}^{a \cdot t}(-\frac{1}{2}\sigma^{2}dt+\sigma dW(t)^{Q})\\ &=aY(t)dt-\mathrm{e}^{a \cdot t}\frac{1}{2}\sigma^{2}dt+\mathrm{e}^{a \cdot t}\sigma dW(t)^{Q} \end{align}$$ Integrando ambos lados obtenemos $$ \begin{align} Y(T) &= Y(t) + (Z(T) - Z(t))-\mathrm{e}^{a \cdot t}\frac{1}{2a}\sigma^{2} + \sigma^{2}\int_{t}^{T} \mathrm{e}^{a \cdot t} dv \end{align} $$ donde $Z(t) = \int_{0}^{t} Y(v) dv$ .

Aquí es donde no estoy seguro de dónde proceder o si mis cálculos hasta ahora son correctos.

Answer 1

La estrategia de prueba consiste en mostrar que la cantidad de interés se distribuye normalmente, y luego utilizar la función generadora de momentos de una variable normal para obtener su tercer momento.

Bajo medida $\mathcal{Q}$ definimos \begin{align} \xi:&=\int_0^Te^{av}\ln S_v \text{d}v \\ &=\int_0^Te^{av}\left(\ln S_0-\frac{1}{2}\sigma^2v+\sigma W_v^\mathcal{Q}\right)\text{d}v. \end{align}

La media $\mu$ de $\xi$ es igual a $$\mu:=\int_0^Te^{av}\left(\ln S_0-\frac{1}{2}\sigma^2v\right)\text{d}v.$$

Entonces $$\xi=\mu+\sigma\int_0^Te^{av}W_v^\mathcal{Q}\text{d}v,$$

Ahora según el teorema estocástico de Fubini: \begin{align} \int_0^Te^{av}W_v^\mathcal{Q}\text{d}v &=\int_0^Te^{av}\left(\int_0^T1_{\{u\leq v\}}\text{d}W_u^\mathcal{Q}\right)\text{d}v \\ &=\int_0^T\left(\int_0^Te^{av}1_{\{u\leq v\}}\text{d}v\right)\text{d}W_u^\mathcal{Q} \\ &=\int_0^T\left(\int_u^Te^{av}\text{d}v\right)\text{d}W_u^\mathcal{Q} \\ &=\int_0^T\theta(u,T)\text{d}W_u^\mathcal{Q}, \end{align} donde $$\theta(u,T):=\frac{e^{aT}-e^{au}}{a}$$

Sin embargo, sabemos que la integral estocástica anterior sigue una distribución gaussiana, por lo que $$\xi\overset{\mathcal{L}}{=}X,$$

donde $$X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\nu\right)$$ y $$\nu:=\sigma^2\int_0^T\theta(u,T)^2\text{d}u.$$ La función generadora de momentos $M(t)$ de una variable aleatoria gaussiana con media $\mu$ y la varianza $\nu$ es $$M(t):=e^{\mu t+\frac{1}{2}\nu^2t^2}.$$ Diferenciar 3 veces: $$M^{\prime\prime\prime}(t):=\left(3\nu^2(\mu+\nu^2t)+(\mu+\nu^2t)^3\right)M(t).$$ Configuración $t=0$ nos da el resultado deseado: \begin{align} E(\xi^3) &= M^{\prime\prime\prime}(0) \\ &=3\nu^2\mu+\mu^3. \end{align}