(1) Satisfacer la completitud, la independencia y la continuidad, pero no la transitividad:
Toma dos resultados, $\{0,1\}$ y el espacio de lotería asociado $[0,1]$ . Consideremos la relación de preferencia $\succsim$ donde
- $x\sim y$ si y sólo si $x=y$ , $x=0$ y $y=1$ o viceversa,
- $x\succ y$ si y sólo si $x>y$ , excepto en el caso de $x=0$ y $y=1$ o viceversa.
La transitividad se viola porque $1\succ 0.5 \succ 0$ pero $0\sim 1$ .
(2) Satisfacer la transitividad, la independencia y la continuidad, pero no la exhaustividad:
Tomemos la relación de vacío en cualquier espacio de lotería. Esta relación es claramente incompleta, pero los demás axiomas se satisfacen de forma vacía.
(3) Satisfacer la completitud, la transitividad y la independencia, pero no la continuidad:
Toma tres resultados, $\{A,B,C\}$ y las preferencias lexicográficas sobre el espacio de lotería asociado. Es decir, el decisor prefiere estrictamente la lotería $M$ sobre la lotería $N$ si (1) $P_M(A)>P_N(A)$ o (2) $P_M(A)=P_N(A)$ y $P_M(B)>P_N(B)$ .
Para ver por qué se viola la continuidad, consideremos las loterías $(Pr(A),Pr(B),Pr(C))=(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$ .
(4) Satisfacer la completitud, la transitividad y la continuidad, pero no la independencia: Toma tres resultados, $\{A,B,C\}$ . Consideremos la relación de preferencia inducida por la función de utilidad $$u(Pr(A),Pr(B),Pr(C))=Pr(A)+2Pr(B)(1-2Pr(C)).$$
Para ver por qué se viola la independencia, considere las loterías $(1,0,0)$ y $(0,1,0)$ frente a $(0.5,0,0.5)$ y $(0,0.5,0.5)$ .
