¿La fórmula tradicional del VAN de un flujo de caja doble cuenta el riesgo?

Question

Considere un flujo de caja de un solo pago (a un periodo de distancia). Su valor actual neto se presenta normalmente como

$$ \text{NPV} = {\text{EV}(\text{Cash Flow}) \over 1 + d} \tag{1} $$

Aquí $d$ se supone que es la "tasa de descuento ajustada al riesgo" que, según tengo entendido, puede desglosarse como

$$ d = t + r $$

donde $t$ es el valor temporal puro del dinero y $r$ es el "factor extra" de lo arriesgada que es la clase de activos.

Pregunta: ¿No estamos contabilizando doblemente el riesgo de un activo al incluir el valor esperado en el numerador (que tiene en cuenta la probabilidad de que un flujo de caja pueda ser bajo) y el factor de riesgo $r$ en el denominador? Es decir, ¿el VAN de un activo no debería ser o bien

$$ \text{NPV} = {\text{EV}(\text{Cash Flow}) \over 1+t} \tag{2} $$

o

$$ \text{NPV} = {\text{Cash Flow} \over 1+t + r} \tag{3}? $$

En (2) tenemos en cuenta el riesgo del activo utilizando un esperado en el numerador, de modo que si el flujo de caja es realmente arriesgado se ponderará a la baja. En (3) tenemos en cuenta el riesgo del activo descontando por $1+t + r$ en lugar de sólo $t$ . Lo más importante es que hagamos una cosa o la otra; hacer las dos cosas -como en (1)- parece contar doblemente el riesgo de un activo. ¿Por qué es esto incorrecto?

Answer 1

Esta fórmula equivale, desde el punto de vista algebraico, a decir que diferentes activos estocásticos pueden tener diferentes rendimientos esperados.

$$ \mathbb{E} \left[ R_i \right] = r_f + \gamma_i $$

Algo de álgebra simple

Dejemos que $X_i$ sea una variable aleatoria que denote un flujo de caja de riesgo, $p_i$ sea el precio actual de ese flujo de caja de riesgo, $r_f$ sea el tipo libre de riesgo, y $\gamma_i$ ser una prima de riesgo específica del activo $i$ .

La fórmula a la que te opones es:

$$ p_i = \frac{\mathbb{E} [X_i]}{r_f + \gamma_i}$$

Activo $i$ La rentabilidad de la empresa viene dada por $ R_i = \frac{X_i}{p_i}$ Por simple álgebra se obtiene $\mathbb{E} \left[ R_i \right] = r_f + \gamma_i$ .

Así que todo lo que la fórmula está diciendo es que el rendimiento esperado del activo $i$ es el tipo libre de riesgo más una prima de riesgo $\gamma_i$ . Sin el $\gamma_i$ término (que es $d$ en su notación), todos los activos tendrían que tener una rentabilidad esperada del tipo libre de riesgo, lo cual es obviamente erróneo.

Answer 2

"No se puede compensar el riesgo utilizando una tasa de descuento alta". - Warren Buffett en la Junta de Accionistas de Berkshire Hathaway de 1998

La respuesta sencilla a su pregunta es: "sí, muchas implementaciones de los análisis de flujos de caja descontados que ajustan el tipo de descuento por el riesgo son una doble contabilidad". Esta práctica está muy extendida en el mundo académico, pero no tiene ninguna base en el principio del valor temporal del dinero.

Presumo que esta práctica proviene de la interpretación incorrecta del Modelo de Valoración de Activos de Capital, que a su vez puede interpretarse como una interpretación incorrecta del postulado de Modigliani-Miller sobre la irrelevancia de la estructura de capital.

Incluso aquellos que se dan cuenta de esto continúan con esta práctica por razones heurísticas, ya que se aproxima a la intuición de que el VAN debe ajustarse a la baja para un mayor riesgo. También permite la valoración heurística de los flujos de caja esperados negativos, lo cual es intratable en un contexto determinista. Además, el ajuste por la aversión asimétrica al riesgo a la baja -tal como se establece en la teoría de las perspectivas- es matemática y computacionalmente inconveniente.

Que yo sepa, no hay ninguna forma generalmente aceptada de descontar una anualidad bajo una medida de probabilidad condicional, que usted representa como EV(*), incluso cuando se toma como una medida del mundo real (viceversa, una medida neutral al riesgo). Los trabajos más completos en este ámbito son los siguientes Daniel Dufresne .

En cualquier caso, para evitar caer en esta trampa, sería conveniente seguir haciendo las cosas como espera tu supervisor o profesor.

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Adenda, tenga en cuenta que la respuesta de @MatthewGunn 'no es incorrecta en el ámbito de las finanzas cuantitativas en el que se supone que el precio es igual a la expectativa descontada. Yo interpreté la pregunta como un problema de valoración/actuarial en el que el autor pretende descubrir el valor razonable independientemente del precio.

Answer 3

No, pero puedo decirte por qué parece que estás contando doble.

Considere un flujo de caja $\tilde{x}=\tilde{x}(t,\mu,\sigma^2)$ que se recibirá en el futuro. Aunque muchos flujos de caja carecen de un primer momento y, por tanto, de una media o varianza definidas, supongamos que al menos el segundo momento está definido para simplificar la discusión. Implícitamente, su suposición de una expectativa requeriría la existencia de un primer momento. De hecho, para facilitar las cosas, asumamos la normalidad.

Si $t$ es el tiempo; $\mu$ el centro de ubicación; y, $\sigma^2$ el parámetro de la escala, entonces podemos hablar de una tasa. A partir de la fórmula $$\rho=\frac{\mathbb{E}(\tilde{x}(\mu(t),\sigma^2(t)))}{1+d(\mu(t),\sigma^2(t))}.$$ Tu suposición de aditividad es problemática, si bien se utiliza a menudo como una aproximación, si lo piensas un segundo verás por qué. En cambio, estoy definiendo $$d=(1+r(\mu_0,\sigma^2_0))(1+\tau(t))$$ porque estoy usando $t$ por el tiempo en lugar del riesgo. $\tau(t)$ es la función que asigna la prima en función del tiempo para descontar un determinado flujo de caja.

Adoptaremos una interpretación frecuencial de la probabilidad para simplificarla. Usando la multiplicación todas las constantes están a la izquierda y la expectativa de las variables aleatorias están en el centro cuando lo reordenamos como $$\rho(1+d(\mu(t),\sigma^2(t))=\mathbb{E}(\tilde{x}(\mu(t),\sigma^2(t)))=\rho\mu(t).$$

El valor actual no puede ser estocástico, ya que se conoce por observación. Dado que $\mu(t)$ y $\sigma^2(t)$ son constantes por definición en la interpretación frecuencial de la probabilidad nada a la izquierda o a la derecha contiene ninguna aleatoriedad. Sólo el centro es aleatorio. Esa aleatoriedad se promedia en el espacio muestral de manera que sólo queda el punto.

Lógicamente, se podría dar un paso más y argumentar que $\mu(t)=\mu(t,\sigma^2(t))$ . Da la sensación de que se cuenta doble porque la media es una función de la varianza y el flujo de caja es una función de la media y la varianza. La tasa es una función de la media ajustada al riesgo, por lo que es una función de la media y la varianza.

Se podría disolver la media y convertirla en una función pura de varianza y tiempo, y entonces sólo existiría el parámetro de escala en el numerador y el denominador.

$$\rho=\frac{\mathbb{E}(\tilde{x}(\sigma^2(t),t))}{1+d(\sigma^2(t),t)}$$

También le falta la observación de que $\mu(t,\sigma^2(t))$ es similar a una función de gasto y no simplemente un centro de localización.

Si retrocedes una unidad de tiempo más, hasta antes del tiempo cero, entonces $\rho$ también se convierte en estocástico porque $\tilde{\rho}=\rho$ si y sólo si $\mathbb{E}[\mathcal{U}(\tilde{x})]>\mathcal{U}(\tilde{\rho}=0)$ , donde $\mathcal{U}()$ es una función de utilidad.