En Conceptos y práctica de las finanzas matemáticas de Joshi , página $110,$ enunció el Lemma de Ito:
Teorema $5.1$ (Lemma de Ito) Sea $X_t$ sea un proceso Ito que satisfaga $$dX_t = \mu(X_t,t)dt + \sigma(X_t,t)dW_t,$$ y que $f(x,t)$ sea una función dos veces diferenciable; entonces tenemos que $f(X_t,t)$ es un proceso Ito, y que $$d(f(X_t,t)) = \frac{\partial f}{\partial t}(X_t,t)dX_t + f'(X_t,t)dX + \frac{1}{2}f''(X_t,t) dX_t^2$$ donde $dX_t^2$ se define por $$dt^2 = 0, \quad dtdW_t = 0\quad dW_t^2=dt.$$
Tengo algunas dudas sobre el Lemma de Ito anterior. ¿Está bien planteado? ¿Cuál es el significado de $f'(X_t,t)$ y $f''(X_t,t)$ ya que tenemos una función multivariable? Además, el Lemma de Ito que conozco está definido por $$d(f(X_t,t)) = \frac{\partial f}{\partial t}(X_t,t) dt + \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) dX_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,t) (dX_t)^2$$ donde $(dX_t)^2 = \sigma^2(X_t,t)dt.$
¿Son equivalentes los dos lemas de Ito anteriores?
