Sí, $\small \text{Pareto} \iff \text{Fréchet} \iff \text{fractal} \iff \text{power law} \iff \text{fat tailed}$ :
Distribución de ley de potencia:
Una variable aleatoria $X$ con dominio $x \in \mathbb R^+$ sigue una distribución de ley de potencia si
$$\Pr[X ≥ x] = \bar F_X(x) ∼ cx^{−α}$$
con $c > 0$ y $α > 0.$
Un decaimiento de la ley de potencia exhibe invariabilidad de escala: $ f(kx)=c(kx)^{-\alpha}=k^{-\alpha}f(x)\propto f(x)$ .
Distribución de Pareto:
El Distribución de Pareto es una distribución de probabilidad tipo ley de potencia, y hace referencia al tipo I con función de supervivencia
$$\bar F_X(x) = \begin{cases} \left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha} & x> x_m \\ 1 & x< x_m \end{cases},$$
para algunos $α > 0$ y $x_m > 0.$ Alpha es el coeficiente de cola .
Desde aquí : "La distribución de Pareto es una distribución de probabilidad fractal que tiene una forma de ley de potencia con dos importantes propiedades de escalamiento (autosimilar): escalamiento bajo truncamiento inferior y escalamiento asintótico bajo adición."
Fractalidad:
De la misma fuente : "La adopción de la distribución de Pareto fue independiente del estudio de los fractales; sin embargo, la distribución de Pareto es la distribución de probabilidad característica de los fractales ."
El principio de invariabilidad de escala define la fractalidad y se observa en las leyes de potencia, y por extensión en la distribución de Pareto.
Distribución de Fréchet:
La idea es obtener una especie de CLT para los máximos a través de dos valores: una "media $b_n,$ y el equivalente a la desviación estándar, $a_n>0,$ tal que
$$\max(X_1,X_2,\cdots,X_n) = a_nX + b_n$$
lo que se llamaría una distribución maxi-estable. Lo que dice es que la distribución del máximo es un reescalado de la distribución de partida (cierre bajo maximización).
Esto se consigue con el teorema de Fisher-Tippet (conduce a la distribución de valor extremo generalizada o GEV). El teorema de FT resulta de la enfoque de máximos en bloque es decir, los datos están divididos, y los valores máximos de cada partición siguen una GEV de la forma
$$F(x;\mu.\sigma;\xi)=e^{-(1+\xi \frac{x-\mu}\sigma)^{-1/\xi}}$$
Teorema de Fisher-Tippet: Sea $X_1,X_2,\dots, X_n$ ser iid rvs. Si existen constantes $a_n > 0$ y $b_n\in \mathbb R,$ y alguna distribución $G,$ tal que $\frac{M_n - b_n}{a_n}\to G.$ Existen tres distribuciones de valores extremos que pueden representarse mediante la familia de distribuciones de valores extremos generalizadas.
- Fréchet: $$\Phi_\alpha(x)=\begin{cases}0,&& x\leq 0\\e^{-x^{-\alpha}},&& x>0\end{cases}$$
- Weilbull $$\Psi_\alpha(x)=\begin{cases}e^{-x^\alpha}&& x\leq 0\\1,&& x>0\end{cases}$$
- Gumbel $$\Lambda(x)=e^{-e^{-x}}$$
Ahora, la cola de un Fréchet decae como una ley de potencia (se demuestra aplicando una sustitución para $x^{-\alpha}$ y la regla de L'Hopital):
$$1- \Phi_\alpha(x) = 1 -e^{-x^{-\alpha}}\sim x^{-\alpha}, \; x \to \infty$$
Por lo tanto, $$\frac{(2x)^{-\alpha}}{x^{-\alpha}}=\small\text{constant}$$ que es la idea de una estructura fractal.
Si los valores de la cola de una variable aleatoria están en la DOA de un Fréchet, exhiben propiedades matemáticas de ley de potencia, lo que equivale a decir que tienen propiedades fractales.
Distribución de Pareto generalizada:
El GPD de Pareto generalizado utilizado en el pico-sobre-umbral (teorema de Pikands-Balkema-de Haan), considera los valores de la distribución por encima de un determinado umbral.
$$G(x;\mu.\sigma;\xi)=\begin{cases}1-\left( 1+\xi \frac{x-\mu}\sigma\right)^{-1/\xi},&\xi\neq 0\\ 1-e^{-\frac{x-\mu}{\sigma}},& \xi=0\end{cases}$$
con $\xi=1/\alpha$ que sería una distribución de Pareto de tipo II o III.
El teorema de Pickands-Balkema-De Haan afirma que si una distribución pertenece a uno de los dominios de atracción máximos de las tres distribuciones de valores extremos, es decir, Fréchet, Weilbul o Gumble, existe un umbral $u,$ tal que si es lo suficientemente grande la distribución de excesos puede ser bien aproximada por una Pareto generalizada.
Colas gordas:
Una distribución es de cola gorda si cae dentro de la DOA de Fréchet. La distribución de Pareto es el distribución de cola gorda.
Las distribuciones de cola gorda (es decir, la distribución de Pareto) tienen una función de supervivencia $\bar F_X(x)$ que es un función que varía regularmente (ver explicación aquí ), es decir, puede expresarse como el producto de un decaimiento de ley de potencia y un función de variación lenta :
$$\bar F_X(x) = x^{-\alpha} L(x)$$
Una función que varía regularmente es una función tal que $\lim_{x\to \infty}\frac{f(tx)}{f(x)}=t^\alpha$ y si $\alpha=0,$ se denomina de variación lenta. Como $t^0=1,$ esto coincide con la definición en Wikipedia de las funciones de variación lenta: a función de variación lenta en la que las diferencias relativas en la cola son iguales a cero: $\lim_{x\to \infty} \frac{f(tx) - f(x)}{f(x)}=0.$
La prueba de que la función de supervivencia del Fréchet es regularmente variable:
$$ \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1- e^{-(tx)^{-\alpha}}}{1-e^{-x^{-\alpha}}} = \lim_{y\rightarrow 0} \frac{1- e^{-t^{-\alpha}y}}{1-e^{-y}} = \lim_{y\rightarrow 0} \frac{t^{-\alpha}e^{-t^{-\alpha}y}}{e^{-y}} = t^{-\alpha} $$
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Fractal significa autosimilar, lo que a su vez se asocia con las leyes de potencia, ya que los fractales tienen una especie de exponente característico de autosimilar ( es.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_dimension ). Sin embargo, no todas las leyes de potencia tienen necesariamente algo que ver con los fractales.