Vida media de la Media Móvil Ponderada Exponencial

Question

Estoy tratando de aplicar una estrategia de volatilidad. Estoy leyendo un artículo donde los autores definen la volatilidad como: "Volatilidad ponderada exponencial de los rendimientos con una ventana de 1 año y una vida media de 3 meses"

Me cuesta entender la fórmula matemática en la que se basa. La parte de la ventana de 1 año se entiende fácilmente como una suma de la desviación de la rentabilidad cuadrada ponderada hasta 12 meses atrás. Creo que la vida media de 3 meses se utiliza para las ponderaciones, pero no puedo averiguar la representación matemática exacta. Se agradece cualquier ayuda al respecto.

Answer 1

La Media Móvil Ponderada Exponencialmente (EWMA por sus siglas en inglés) se caracteriza por el tamaño de la ventana de revisión $N$ y el parámetro de decaimiento $\lambda$ .

La previsión de la volatilidad correspondiente viene dada entonces por: $$\sigma_t^2 = \sum_{k = 0}^N \lambda^k x_{t-k}^2$$

A veces, la expresión anterior está normada de forma que la suma de los pesos es igual a uno. Sin embargo, para grandes $N$ esto no hace ninguna diferencia.

Volviendo a su pregunta, en lugar de proporcionar $\lambda$ la vida media $\tau$ también se puede proporcionar. La vida media es el lapso de tiempo en el que los pesos exponenciales decaen a la mitad, es decir $$\lambda^\tau = \frac 12 \iff \tau = - \frac{\ln2}{\ln \lambda} \iff \lambda = \biggl(\frac 12\biggr)^{\frac 1\tau}.$$

En su caso $\tau = \frac 14$ lo que significa que después de 3 meses las ponderaciones en el EWMA son menores o iguales que $\frac 12$ . El valor correspondiente a $\lambda$ viene dada por $\lambda = \bigl(\frac 12\bigr)^{\frac 1\tau} = \frac {1}{16}$ .