Estrategias mixtas en el equilibrio de Bayes Nash (Batalla Bayesiana de los Sexos). ¿No debería depender de $p$ ?

Question

Tengo una pregunta sobre el cálculo de estrategias mixtas en un Equilibrio de Bayes Nash en un juego simple de 2 jugadores bimatriz. Para demostrar la cuestión, considere la ``Batalla Bayesiana de los Sexos''. Supongamos que P1 se enfrenta a un P2 cuyo tipo es desconocido con probabilidad $p$ . A continuación se muestra un ejemplo en el que $p=.5$ .

Esto es lo que me sorprende. Si calculas la estrategia de mezcla para P1 asegurándote de que P2 es indiferente, acabas con las estrategias de mezcla de P1 que no dependen en absoluto de $p$ . Esto me parece extraño.

Si el tipo de P2 es más claro, ¿no debería cambiar la estrategia mixta óptima para anticiparlo?

Fin de la pregunta. Adenda: El juego anterior aparentemente tiene dos EQMs de estrategia mixta:

1. Mezclas P1 $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ , P2 izquierda mezcla (0,1), P2 derecha ( $\frac{2}{3},\frac{1}{3}$ ).
2. Mezclas P1 $(\frac{2}{3},\frac{1}{3})$ , P2 mezclas de la izquierda ( $\frac{2}{3},\frac{1}{3}$ ), P2 derecha (0,1).

Como dije, esto no parece depender de $p$ (la probabilidad de enfrentarse al primer tipo).

También: ¿No debería este juego tener un número impar de EQM? Pensé que era una regla general. Estoy contemplando la idea de que hay un tercer equilibrio que mezcla los dos anteriores.

Answer 1

Supongamos que el jugador 1 elige una estrategia mixta tal que el tipo izquierdo del jugador 2 es indiferente entre C y H. Hay una única estrategia mixta que hace esto. La misma estrategia mixta, sin embargo, NO hace indiferente al tipo derecho del jugador 2. En términos generales, esto se debe simplemente a que las preferencias del tipo izquierdo son exactamente las del tipo derecho cambiadas. Por lo tanto, es imposible que el jugador 1 haga indiferentes a ambos tipos simultáneamente. Por lo tanto, la probabilidad $p$ no juega ningún papel a la hora de elegir una estrategia tal que al menos uno de ellos sea indiferente.

Esto también indica por qué hay exactamente dos equilibrios.