Valor de la mediana para la simulación del movimiento browniano geométrico

Question

Estoy tratando de simular los precios de las acciones utilizando GBM. Estoy utilizando la siguiente fórmula, y la función de MATLAB, para determinar los precios de las acciones:

$\nu = \mu - \frac{\sigma^{2}}{2}$ ;

$S = S0*\text{[ones(1,nsims); ... cumprod(}\exp(\nu dt+\sigma \sqrt{dt}*\text{randn(steps,nsims))},1)];$

utilizando los siguientes parámetros:

$S0 = 1,$ $\mu = 0,$ $\sigma = 0.2481,$ $dt = 1/365,$ $\text{steps} = 365,$ $\text{nsims} = 1000.$

Cuando utilizo esto para generar los precios de las acciones, los resultados parecen logarítmicos normales y el logaritmo de los rendimientos del primer al último precio también es normal.

El problema que tengo es que sin deriva la mediana debería ser 1 según http://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution#Mode_and_median pero estoy obteniendo sistemáticamente valores inferiores a 1.

No estoy seguro de lo que está pasando o si estoy simulando incorrectamente.

Es la primera vez que publico, así que le ruego que me diga si he hecho algo mal.

Gracias.

Answer 1

Estás generando una serie de precios, en pasos de tiempo $p_{dt},p_{2dt},p_{3dt},...$ . ¿Supongo? Así que si lo haces $\text{Median}\{p_{dt},p_{2dt},p_{3dt},..\}$ entonces se obtendrá un valor sesgado hacia $0$ (para los parámetros que has dado, y el tamaño de la muestra que tienes).

Si se quieren observar las características distributivas del precio, hay que hacerlo por cada $p_{i \times dt}$ para un solo $i$ . Así que usted crea su serie de precios, luego aísla un $p_{i \times dt}$ y mira la distribución de eso, sobre muchas muestras.

Así que $\text{Median}\{p_{i\times dt}\}$ es igual a 1 (para todos los $i$ ).

Si mira $\text{Median}\{p_{dt},p_{2dt},p_{3dt},..\}$ simplemente estás obteniendo la mediana de una distribución de mezcla log-normal (con un tamaño de muestra realmente pequeño), que supongo que no es lo que quieres.

p.d. deberías usar látex en este sitio.