He estado leyendo el libro 'The Size of Nations' de Alberto Alesina y Enrico Spolaore (se puede encontrar en la red si se sabe dónde buscar) y estoy teniendo problemas para seguir su "prueba" del primer lema para el modelo de jurisdicciones superpuestas. En primer lugar, explicaré el modelo y el lema, en segundo lugar proporcionaré su prueba y, finalmente, mi intento (incompleto) de demostración del lema con las preguntas que tengo. Se puede encontrar un modelo similar en un documento de Spolaore (no es necesario).
El modelo
En el modelo, el "mundo" es un segmento lineal de longitud normalizada a 1. También hay una masa de individuos "idénticos" (excepto en ubicación, por lo que podemos sumar sus utilidades) 1 distribuidos uniformemente a lo largo del segmento (un individuo en cada punto del segmento). Hay $M$ bienes públicos, indexados por $j = 1,2,...,M_{j}$ . Cada bien está disponible en un continuo de tipos. Si un bien $j$ se encuentra en el punto $w (0,1)$ a lo largo del segmento llamamos al tipo de bien $j$ un tipo $w$ (nota: no se trata de un bien diferente, sino de un tipo diferente del mismo bien). Las jurisdicciones proporcionan bienes públicos. Una jurisdicción para el $jth$ El bien público se define por tres puntos del segmento: por ejemplo, $A$ , $B$ y $C$ con $A < B < C$ . El punto medio $B$ indica dónde se encuentra el bien público; los otros dos son los límites de la jurisdicción. Una jurisdicción que proporciona un bien público $j$ se define como $j$ -de nivel de jurisdicción. Además, no hay externalidades.
La utilidad de la $i$ El individuo se denota por: $$ u_{i} = y - t_{i} + g - \sum_{j=1}^{M} a_{j} l_{ij} $$ $y$ en la renta bruta del individuo, $g$ el valor máximo derivado de los bienes públicos para un individuo que disfruta de todos sus tipos más favorecidos. Sea $t_{i}$ denotan los impuestos pagados por el $i$ individual. El conjunto de Alessina y Spolaore $g$ = 0 para simplificar, sin pérdida de generalidad (podemos hacer lo mismo para $y$ ya que es un parámetro exógeno). $l_{ij}$ denota la distancia desde el $i$ a la persona a la $j$ el bien público. $a_{j}$ es un parámetro positivo que mide el coste marginal de la distancia. Cada $j$ El coste total del bien público $c_{j}$ en una determinada jurisdicción viene dada por: $$ c_{j} = k_{j} + _{j} s, $$ donde $s$ es el tamaño de la jurisdicción, $k_{j}$ es un coste fijo que es independiente del tamaño de la jurisdicción, y $_{j}$ es un parámetro positivo (coste marginal del tamaño). Los impuestos totales en un $j$ -jurisdicción de nivel con fronteras en $A$ y $C$ debe ser igual a $c_{j}$ (presupuesto equilibrado): $$ \int_{A}^{C} t_{i} di = c_{j}. $$ Por lo tanto, la suma de la utilidad de todos viene dada por: $$ \int_{0}^{1} u_{i} di = y - \sum_{j=1}^{M} \left ( k_{j} N_{j} + \sum_{x=1}^{N_{j}} \gamma_{j} s_{jx} + a_{j} \int_{0}^{1} l_{ij} di \right ) $$ donde $N_{j}$ es el número de $j$ -jurisdicciones de nivel y $s_{jx}$ es el tamaño de un $j$ -nivel de jurisdicción $x$ para $x = 1,2,...,N_{j}$ . Consideremos el problema de un planificador social utilitario que pretende maximizar la suma de las utilidades individuales utilidades individuales definidas como arriba.
Lema
Por cada bien público $j$ El planificador social divide el mundo en $N_{j}$ jurisdicciones de igual tamaño $s_{j} = 1/N_{j}$ y sitúa en el centro de cada jurisdicción un bien público $j$ . Nj es el entero cerca de: $$ \sqrt{a_{j}/4k_{j}} $$
La "prueba" del lema de Alesina y Spolaroe (2.1 en el libro)
La suma de utilidades a maximizar viene dada por (los autores han omitido alguna notación): $$ \int_{0}^{1} u_{i} di = y \sum_{j=1}^{M} \left [k_{j} N_{j} + a_{j} \int_{0}^{1} l_{ji} \right ] $$ Por el bien público $j$ y para un número determinado de jurisdicciones $N_{j}$ la suma de las distancias $\int_{0}^{1}l_{ji}$ se minimiza si el bien público se sitúa en el punto medio de cada jurisdicción. Por lo tanto, la suma de las distancias viene dada por $\int_{0}^{1}l_{ji} = \sum_{x=1}^{N_{j}}s_{xj}^{2}/4$ , donde $\sum_{x=1}^{N_{j}}s_{xj} = 1$ La suma de cuadrados se minimiza eligiendo eligiendo jurisdicciones de igual tamaño, $s_{j} = 1/N_{j}j$ . Por lo tanto, la solución para cada $N_{j}$ es el número entero positivo que resuelve: $$ \min_{N_{j}} k_{j} N_{j} + \frac{a_{j}}{4N_{j}} $$ La condición de primer orden para $N_{j}$ (ignorando la restricción de que $N_{j}$ debe ser un número entero) implica que: $$ N_{j}^{*} = \sqrt{\frac{a_{j}}{4k_{j}}} $$
Mi intento y mis preguntas
Empiezo desde: $$ \int_{0}^{1} u_{i} di = y - \sum_{j=1}^{M} \left ( k_{j} N_{j} + \sum_{x=1}^{N_{j}} \gamma_{j} s_{jx} + a_{j} \int_{0}^{1} l_{ij} di \right ) $$ Olvidemos ahora que hay $M$ bienes públicos (como no interactúan entre sí, son independientes, por lo que una solución general para un $j$ el bien público bien ser capaz de aplicarlo a $M$ bienes públicos). También podemos establecer $y$ a 0 sin pérdida de generalidad. Debido a esto, el problema del planificador social utilitario se convierte en: $$ \min k_{j} N_{j} + \sum_{x=1}^{N_{j}} \gamma_{j} s_{jx} + a_{j} \int_{0}^{1} l_{ij} di $$ $j$ -niveles de jurisdicción no se superponen entre sí (sólo con otros niveles), ya que un individuo siempre querrá estar al $j$ -nivel de cierre de jurisdicción disponible, no hay beneficios de estar en más de una jurisdicción del mismo nivel ( $g$ fijo y fijado en 0) pero hay costes de jurisdicciones mayores, por lo que el planificador social utilitario nunca diseñará $j$ -jurisdicciones que se solapan entre sí. $j$ -Las jurisdicciones de nivel también ocupan todo el segmento ya que todos los individuos necesitan tener acceso a cada uno de los bienes públicos que hay (así que sí, no seas troll diciendo que el tamaño y el número de jurisdicciones óptimas es 0 ya que los autores, previamente, establecieron $g$ a 0). Todo esto implica que: $\sum_{x=1}^{N_{j}}s_{xj} = 1$ Así que el problema del planificador social utilitario se reduce a (mantengo el $j$ subíndices para la generalidad y el conjunto $\gamma_{j}$ a 0 ya que es un parámetro dado que no se ve afectado por ninguna variable de elección): $$ \min k_{j} N_{j} + a_{j} \int_{0}^{1} l_{ij} di $$ Estoy atascado aquí, así que tengo 3 preguntas:
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¿Hay alguna manera de probar que, la suma de las distancias $\int_{0}^{1} l_{ji}$ se minimiza si el bien público se sitúa en el punto medio de cada jurisdicción? Entiendo la lógica, pero no sé cómo conseguir la prueba.
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Por qué $\int_{0}^{1} l_{ji} = \sum_{x=1}^{N_{j}} s_{xj}^{2}/4$ ?
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Por qué la suma de cuadrados se minimiza eligiendo jurisdicciones de igual tamaño, $s_{j} = 1/N_{j}$ ? (una prueba sería útil ya que, en cierto modo, intuyo por qué debería ser así, pero no estoy seguro).
