Confusión sobre el riesgo neutro y las medidas físicas

Question

Puede que esté confundido. Estoy viendo el riesgo neutral frente a las medidas físicas. Sabemos que conociendo el proceso estocástico del tipo de interés a corto $r$ un bono que vence en el momento $T$ se puede considerar como una derivada con pago \$$1$ . Su precio en el momento $t$ es $$P(t) = \mathbf E^Q\big[e^{-\int_t^Tr}\big|\mathcal F_t\big],$$ en la medida neutral de riesgo $Q$ . Ahora bien, si queremos calcular el tiempo $t$ valor $V(t)$ de una acción en el momento $T$ debemos calcular la expectativa en la medida neutral de riesgo $Q$ $$V(t)=\mathbf E^Q\big[e^{-\int_t^Tr}S(T)\big|\mathcal F_t\big]$$ o la medida física $P$ $$V(t)=\mathbf E^P\big[e^{-\int_t^Tr}S(T)\big|\mathcal F_t\big]$$ ?

Answer 1

La medida de martingala equivalente (EMM) $\mathbb{Q}$ es una medida bajo la cual todos los precios de los activos descontados utilizando un bono libre de riesgo son martingales, es decir, dado el precio del bono $B(t)$ y el precio del activo $S(t)$ tenemos $$\frac{S(t)}{B(t)} = E_t^{\mathbb{Q}}\left[\frac{S(T)}{B(T)}\right]$$ Si el bono sigue la siguiente ODE $dB(t) = r(t)B(t)dt$ entonces $\frac{B(t)}{B(T)} = e^{-\int_t^T r(s)ds}$ y por lo tanto obtenemos la ecuación que ha sugerido en $\mathbb{Q}$

$$ S(t) = E_t^{\mathbb{Q}}\left[e^{-\int_t^T r(s)ds}S(T)\right]$$

Si quiere fijar el precio bajo la medida física $\mathbb{P}$ entonces sabes que existe una densidad de precios estatal $\xi(t)$ que (suponiendo un solo activo) evoluciona según el siguiente proceso $d\xi(t) = -\xi(t)\left(r(t)dt + \frac{\mu(t)-r(t)}{\sigma(t)}dW(t)\right)$ y cuyo producto con cualquier activo es un $\mathbb{P}$ martingala, es decir

$$ \xi(t)S(t) = E_t^{\mathbb{P}}\left[\xi(T)S(T)\right]$$

lo que implica la siguiente ecuación de precios bajo la medida física:

$$ S(t) = E_t^{\mathbb{P}}\left[\frac{\xi(T)}{\xi(t)}S(T)\right]$$