Diferencia entre limitar la optimización previa y posterior

Question

¿Cuál es la implicación de restringir las ponderaciones de la cartera optimizada obtenida sin restricciones frente a la obtención de las ponderaciones con las restricciones en el objetivo?

Sea que los rendimientos de los activos se distribuyen con una media $\mu$ y la covarianza $C$ .

$$r\sim(\mu,C)$$

Optimización de carteras sin restricciones:

$$\min_w\frac{\gamma}{2}w^TCw-w^T\mu$$

Los pesos óptimos

$$w^*=\frac{1}{\gamma}C^{-1}\mu$$

Limitación de la optimización posterior.

Definir $e$ como un vector de 1s.

$$e^Tw^*=1\implies\gamma=e^TC^{-1}\mu$$

$$w^*=\frac{C^{-1}\mu}{e^TC^{-1}\mu}$$

Optimización de carteras con restricciones:

$$\min_w\frac{\gamma}{2}w^TCw-w^T\mu-\lambda(e^Tw-1)$$

Los pesos óptimos

$$w^*=\frac{C^{-1}(\mu+\lambda e)}{e^TC^{-1}(\mu+\lambda e)}$$

Answer 1

Considera la ecuación de dos variables (básicamente tu obj func):

$$f(x,y) = x^2 + y^2$$

La minimización sin restricciones es $x=y=0$ . Si ahora restringes esta suma para que sea igual a uno, después de la optimización, pues no funciona del todo ya que multiplicas por infinito. Pero, incluso si el obj func fuera ligeramente diferente y fuera finito no devolvería el mínimo de la minimización restringida real que en este caso es $x=y=0.5$ porque son dos cálculos diferentes.

Analógicamente es como decir: de una clase de veinte alumnos encontrar los 3 que son más altos, y luego (post) seleccionar los que son chicas, frente a (pre) restringido a las niñas de la clase encontrar 3 que son los más altos.