Transformación ortogonal de Klein y Chow - Ortogonalización de Lowdin

Question

He investigado sobre la transformación ortogonal en Primas de riesgo de las acciones ortogonalizadas y descomposición del riesgo sistemático

Toman prestada una técnica matemática llamada ortogonalización simétrica de la química cuántica para identificar los componentes no correlacionados subyacentes de los factores y mantiene las interpretaciones de los factores originales.

En concreto, dado el rendimiento $F_{T,K}$ intentan encontrar $F_{T,K}^{\bot}$ al encontrar $S_{K,K}$ . El $S_{K,K}$ que realiza la ortogonalización simétrica es $M_{K,K}^{-\frac{1}{2}} I_{K,K}$ donde $S_{K,K} = O_{K,K}D_{K,K}O_{K,K}^{-1}$ donde el $k$ -en la columna de $O_{K,K}$ es el $k$ -El octavo vector propio de la matriz $M_{K,K}$ y $D_{K,K}$ es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios correspondientes, es decir $D_{K,K} = \lambda_k$ , donde $k$ pasa de 1 a $K$ . $M_{K,K}$ es $(T-1)$ veces la matriz de varianza-covarianza, donde

Aunque he implementado con éxito en Python y el resultado de la prueba parece validar mis conocimientos sobre la cartera, hay algunas cosas que no entiendo completamente en la metodología.

1) Sé que no es trivial calcular $M_{K,K}^{-\frac{1}{2}}$ tomando la inversa y root cuadrada de la misma, y por eso realizan la diagonalización. Pero, ¿por qué iban a diagonalizar la matriz $M$ en valores y vectores propios (es decir, por qué realizan la eigendecomposición)? ¿Qué importancia tienen los valores propios y los vectores propios en esta situación?

2) ¿Cómo explicaría el proceso de ortogonalización en términos sencillos?

3) Resulta que un factor ortogonal es una combinación lineal de los factores originales, y sin embargo los autores dicen que el factor ortogonal mantiene la interpretabilidad del factor original. ¿Cómo puede una combinación lineal de factores mantener la interpretación del original?

Sé que es un post largo con muchas preguntas, pero estas son las fundamentales con las que estoy teniendo problemas, y agradecería mucho cualquier ayuda.

Muchas gracias.

Answer 1

Sólo puedo decir que he echado un vistazo muy breve a esto, sin entenderlo necesariamente, pero, ¿el procedimiento de ortogonalización no está relacionado con la Descomposición del Valor Singular (que responde a la pregunta 1), que es un resultado principal del álgebra lineal:

Cualquier matriz $A \in R^{m \times n}$ puede ser factorizado en una descomposición de valor singular (SVD):

$$ A = U S V^T $$

donde $U \in R^{m \times m}$ y $V \in R^{n \times n}$ son matrices ortogonales (es decir $UU^T = VV^T = 1$ ) y $S \in R^{m \times n}$ es diagonal con con $r=rank(A)$ entradas diagonales positivas principales. El $p$ entradas diagonales de $S$ se suelen denotar con $\sigma_i$ para $i=1...p$ , donde $p = min(m,n)$ y $\sigma_i$ se denominan valores singulares de $A$ . Los valores singulares son los raíces cuadradas de los valores propios no nulos de ambos $AA^T$ y $A^TA$ y satisfacen la propiedad de que $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq ... \geq \sigma_p$