¿Cómo ver que la semicontinuidad superior y la supermodularidad son equivalentes en un contexto de juego supermodular?

Question

Un requisito para un juego supermodular $(I, \mathbf S, \mathbf u)$ suele presentarse de dos maneras (por ejemplo, en esta nota ):

Para $i \in I$ , $u_i$ es supermodular en $S_i$ cuando $s_{-i}$ es fijo, es decir, para $s_i, s_i' \in S_i$ $$u_i(s_i \vee s_i', s_{-i})+u_i(s_i \wedge s_i', s_{-i}) \geq u_i(s_i , s_{-i})+u_i(s_i', s_{-i})$$

O

Para $i \in I$ , $u_i$ es de continuidad superior, es decir, para $\alpha \in \mathbb R$ $$\{s_i \in S_i \mid u_i(s_i, s_{-i}) < \alpha\} \text{ is open.}$$

Pero es evidente que son diferentes. El primero dota a $S_i$ con una estructura de orden, mientras que la segunda requiere el equipamiento de una topología. ¿Cómo entender esta diferencia?

Answer 1

Su observación sobre la topología y el orden es algo inexacta. La primera definición hace uso del orden parcial en $S_i$ mientras que la segunda hace uso de la topología en ella, pero ambas estructuras están casi siempre especificadas por la suposición, que $S_i$ es un sublatino de $R^n$ y por tanto está dotado de la topología habitual del subespacio y del orden parcial. Este es el primer punto de la definición en el material al que te has referido. Así que esta preocupación está fuera de lugar.

Sin embargo, hay algunos indicios (véase, por ejemplo, el capítulo 4 de Supermodularidad y Complementariedad de Topkis), de que el requisito de semicontinuidad superior es más fuerte e implica el primero. Sin embargo, no estoy preparado para proporcionar una prueba precisa.