¿Condiciones iniciales/límite para una opción mariposa?

Question

¿Cuáles son las condiciones iniciales y de contorno de una Opción Mariposa? Quiero escribir un programa PDE para ello y tengo una idea aproximada de lo que debería ser el pago (¿es sólo una opción de compra y una de venta al precio de ejercicio?), pero si alguien puede proporcionarme respuestas definitivas, se lo agradecería mucho. En particular, estoy después de cosas como el tiempo $T$ condición de contorno (que suele ser el pago de la opción y se toma como condición inicial) que se escribe como $u(T,x)$ la condición de contorno como $x \rightarrow 0$ es decir $\lim_{x\rightarrow 0} u(t,x)$ (que creo que debería ser igual a $0$ ) y la condición de contorno como $x \rightarrow \infty$ es decir $\lim_{x\rightarrow \infty} u(t,x)$

En una nota relacionada, soy nuevo en las matemáticas financieras y cada vez que necesito buscar las condiciones para las opciones que no sean una opción de compra, por lo general me resulta increíblemente difícil (tengo que buscar en Google todo durante casi una hora para encontrar algo relevante parece). ¿Alguien tiene un recurso que proporcione las condiciones iniciales y de contorno para una serie de opciones?

Gracias de antemano.

EDIT: Bien, una búsqueda rápida me ha mostrado que el pago de un Spread Mariposa es $(S - K_c)^+ + (K_{p} - S)^+ - (S - K_{atm})^+ - (K_{atm} - S)^+$ donde $K_{atm} = \frac{K_c + K_p}{2}$ Sin embargo, todavía no sé cuáles son las condiciones de contorno, ¿alguien puede decirme cuáles son (y, con suerte, incluso cómo derivarlas?) ¡Gracias!

Answer 1

Usted intenta escribir un programa que resuelva la siguiente EDP de fijación de precios (Black-Scholes asumido)

$$ \frac{\partial V}{\partial t}(t,S) + (r-q)S\frac{\partial V}{\partial S}(t,S) + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S) - rV(t,S) = 0 $$

donde $V_0:=V(0,S_0)$ es la prima de la opción objetivo.

El condición terminal es que, en $t=T$ (vencimiento del contrato), el valor de la opción debe ser igual a su pago $\phi (S_T) $ por la ausencia de oportunidades de arbitraje: $$ V(T, S_T) = (S_T-(K-a))^+ - 2(S_T-K)^+ + (S_T-(K+a))^+,\ \ \forall S_T \in \mathbb{R}^+ $$ donde el parámetro real $a>0$ describe la "anchura" de su posición de mariposa.

Para obtener el condiciones de contorno es esclarecedor recordar que la solución de la EDP de precios anterior es, por Feynman-Kac fórmula:

$$ V(t,S_t) = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[ e^{-r(T-t)} \phi(S_T) \vert \mathcal{F}_t \right] $$

donde $\mathbb{Q}$ es una medida de probabilidad bajo la cual el valor de cualquier cartera de autofinanciación, descontada al tipo libre de riesgo $r$ constituye una martingala. Utilizando la formulación anterior, podemos heurísticamente (*) ver que \begin{align} \lim_{S \rightarrow 0} V(t,S_t=S) &= \lim_{S_T \rightarrow 0} \mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(T-t)} \phi(S_T) \right] \\ &= e^{-r(T-t)} \phi(0) \\ &= 0 \\ \lim_{S \rightarrow \infty} V(t,S_t=S) &= \lim_{S_T \rightarrow \infty} \mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[ e^{-r(T-t)} \phi(S_T) \right] \\ &= e^{-r(T-t)} \underbrace{\lim_{S_T \rightarrow \infty} \mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\left[ (S_T-(K-a)) - 2(S_T-K) + (S_T-(K+a)) \right]}_{=0} \\ &= 0 \end{align}

Nótese que, en lugar de las condiciones de Dirichlet, se podrían utilizar de forma equivalente las condiciones de Von Neumann en los límites. Por ejemplo, aquí, el hecho de que se espera que Gamma desaparezca, es decir \begin{align} \lim_{S\rightarrow 0} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S_t=S) = 0 \\ \lim_{S\rightarrow \infty} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S_t=S) = 0 \\ \end{align}

(*) [REM] Aunque el límite está definido teóricamente para la variable aleatoria $S=S_t$ podemos propagarlo "heurísticamente" al argumento $S_T$ de la función de pago. Esto se debe a que en los modelos de difusión homogénea a la Black-Scholes $`\ S_T \propto S_t\ '$ . Utilizo comillas porque no es la forma rigurosa de escribirlo, pero se entiende la idea.