El libro de Mark Joshi - preguntas de la entrevista quant

Question

Actualmente estoy haciendo la pregunta sobre el precio de la opción con pago:

$$\max (S(S-K),0).$$

En la sección de preguntas pertinentes, se pregunta por qué un banco sería reacio a vender dicha opción. No se me ocurre una respuesta convincente para esto, así que agradecería cualquier idea al respecto.

Answer 1

Para valores grandes del spot S, este pago va al infinito como el cuadrado de S. Sin embargo, los instrumentos de cobertura disponibles son las opciones vainilla, que van como S a la primera potencia. Matemáticamente, el pago puede replicarse a partir de una cartera continua de opciones vainilla, y esto es lo que intentaría hacer un banco. Sin embargo, las ponderaciones de las opciones vainilla pueden llegar a ser muy grandes, y de hecho existe un mercado de opciones vainilla perfectamente razonable en el que el precio sin arbitraje de este pago (obtenido por replicación a partir de vainillas) es infinito. Esto sucede cuando la sonrisa va como los famosos límites de Roger Lee asintóticamente. El resultado depende del comportamiento asintótico de la sonrisa de vainilla. El resultado es que el riesgo puede volverse inestable y cambiar mucho por pequeños cambios en la sonrisa de volatilidad implícita, y el banco no tiene forma de conocer el verdadero valor.

Answer 2

Sospecho que esto se debe a que, condicionado a estar in-the-money, el pago de su opción es convexo en el precio de las acciones $-$ mientras que para una llamada de vainilla, la recompensa es lineal. En consecuencia, el delta $\Delta$ y gamma $\Gamma$ Los ratios de cobertura son mayores, en particular la gamma se hace mucho más grande.

Supongamos que los tipos son nulos para aligerar la notación. Entonces su pago puede ser valorado bajo la medida de acciones $\mathcal{S}$ Véase, por ejemplo esta respuesta tal que..: \begin{align} V(t,S_t) &=E^\mathcal{Q}\left(S_T(S_T-K)^+|\mathscr{F}_t\right) \\ \tag{1} &=S_tE^\mathcal{S}\left((S_T-K)^+|\mathscr{F}_t\right) \end{align} Como puedes ver en la pregunta enlazada, bajo su propia medida el precio de las acciones se sigue distribuyendo como un Movimiento Browniano Geométrico, pero con deriva $r+\sigma^2=\sigma^2$ debido a la hipótesis de las tasas nulas. La fórmula de Black-Scholes se aplica a $(1)$ y obtenemos: $$V(t,S_t)=S_tf(t)$$ donde $f(t):=f(t,S_t,T,K)$ es la fórmula de fijación de precios de Black-Scholes para una opción de compra vainilla pero tal que el precio de la acción tiene deriva $\sigma^2$ . Por lo tanto: \begin{align} \Delta_V(t,S_t)&=f(t)+S_t\Delta_{BS}(t,S_t) \\[6pt] \Gamma_V(t,S_t)&=2\Delta_{BS}(t,S_t)+S_t\Gamma_{BS}(t,S_t) \end{align} Estos ratios de cobertura deben ser mucho más grande que para una llamada simple, en particular debido a la $S_t$ por ejemplo, para un precio de la acción de 10 dólares, que podría dar lugar a ratios de cobertura más de 10 veces superiores a los de la opción de compra simple.