¿Cómo calcular la desviación estándar de una cartera?

Question

Así que tengo esta información:

Supongamos que el 60% de su cartera está invertido en Johnson & Johnson (JNJ) y el resto en Ford. Usted espera que durante el próximo año JNJ dé una rentabilidad del 8% y Ford, del 18,8%.

Entonces sé que el rendimiento esperado de la cartera es simplemente una media ponderada de los rendimientos esperados de las acciones individuales:

Rentabilidad esperada de la cartera = (,60 × 8) + (,40 × 18,8) = 12,3%.

Sin embargo, luego el libro dice:

Hemos dicho antes que si los dos valores estuvieran perfectamente correlacionados, la desviación típica de la cartera se situaría en un 40% entre las desviaciones típicas de los dos valores.

No ha habido otros cálculos en el libro y sólo después de esta declaración debo comenzar los cálculos para entender el riesgo de la cartera.

¿Puede alguien decirme de dónde viene este 40%? Gracias.

Answer 1

Se podría decir que el rendimiento de Johnson & Johnson es una variable aleatoria $R_J$ con valor esperado $\mu^{\,}_J$ y la varianza $E[(R_P-\mu^{\,}_P)^2] = \sigma^2_J$ , y en Ford es $R_F$ con valor esperado $\mu^{\,}_F$ y la varianza $E[(R_F-\mu^{\,}_F)^2] = \sigma^2_F$

$R_J$ y $R_F$ significa que está perfectamente correlacionado $\frac{\mathbb E[(R_J-\mu^{\,}_J)(R_F-\mu^{\,}_F)]}{\sigma^{\,}_J\,\sigma^{\,}_F}=1$ así que $\mathbb E[(R_J-\mu^{\,}_J)(R_F-\mu^{\,}_F)] = \sigma^{\,}_J\sigma^{\,}_F$

Ahora considere su cartera $60\%$ Johnson & Johnson y $40\%$ Ford. Tiene retorno $R_P= 0.6 R_J +0.4 R_F$ con valor esperado $\mu^{\,}_P= 0.6 \mu^{\,}_J +0.4 \mu^{\,}_F$ por linealidad de la expectativa, por lo que la rentabilidad real y la rentabilidad esperada son $40\%$ de las cifras correspondientes a Ford a las de Johnson & Johnson

Consideremos ahora la varianza de la rentabilidad de la cartera $$\sigma^2_P = \mathbb E[(R_P-\mu^{\,}_P)^2] \\= \mathbb E[(0.6 (R_J-\mu^{\,}_J) +0.4 (R_F-\mu^{\,}_F))^2] \\ = 0.6^2 \sigma^2_J +2\times 0.6 \times 0.4 \sigma^{\,}_J\,\sigma^{\,}_F + 0.4^2 \sigma^2_F \\= (0.6 \sigma^{\,}_J + 0.4 \sigma^{\,}_F)^2 $$ por lo que tomando las raíces cuadradas se obtiene $\sigma^{\,}_P = 0.6 \sigma^{\,}_J + 0.4 \sigma^{\,}_F$ es decir, la desviación típica de la rentabilidad de la cartera es de nuevo $40\%$ de la cifra correspondiente a Ford a la de Johnson & Johnson