Integral de Ito de funciones de movimiento Browniano

Question

¿Cómo se muestra que:

$$ \mathbb{E}\left[ \int f(W_s)dWs \right] = 0 $$

Para todos los $f()$ que son potencias de $W(s)$ ?? ¿Se asume que uno tendría que ir a través de la definición de la integral de Ito y expresar la integral como una suma de diferencias de martingala?

Intenté hacer eso, pero no funcionó para mí: Tomando $f(W(s))=W(s)$ y dividiendo la integral en partes finitas "constantes":

$$ \mathbb{E}\left[ \int f(W_s)dWs \right] = \mathbb{E} \sum_iW_i(W_i-W_{i-1}) = \sum_i\mathbb{E}[W_i^2-W_iW_{i-1}]=\sum_i\mathbb{E}W_i^2\neq0 $$

Obviamente, lo anterior no es la forma de demostrarlo. ¿Algún consejo por favor?

Answer 1

Que la expectativa sea cero se llama frecuentemente la propiedad martingala de la integral de Ito (ver por ejemplo el Teorema 3.2.1 de Oksendal). La demostración formal consiste en demostrar esto para funciones integrantes "simples" y luego generalizarlo tomando límites. Esto requiere que el proceso integrante esté adaptado (es decir, no proyectado hacia el futuro) y sea cuadrado integrable. La integrabilidad cuadrado es importante porque en general la expectativa de una integral de Ito puede tomar cualquier valor, como se explica aquí: https://math.stackexchange.com/questions/232932/it%C5%8D-integral-has-expectation-zero. Sin embargo, estas condiciones técnicas suelen cumplirse en aplicaciones prácticas. En su caso, se deriva del hecho de que el proceso de Wiener tiene momentos finitos.

Answer 2

Una integral de Ito es un martingala, y por lo tanto su expectativa en cualquier momento es su valor en t=0 - lo cual trivialmente es 0; porque el límite inferior y superior de la integral serían 0.

Para la prueba de la martingalidad, puedes consultar a Shreve. Utiliza la definición de la integral de Ito al verla como la suma de muchas variables aleatorias generadas al dividir el eje del tiempo. A partir de la martingalidad del movimiento Browniano, se sigue la prueba.

Intuitivamente, puedes ver entonces la integral de Ito como el resultado acumulativo de asignar 'pesos' aleatoriamente (los incrementos de Brownianos) al integrando. Estos pesos se asignan de manera independiente entre sí, e independiente de sus respectivos integrandos (no puedes asignar sistemáticamente pesos más altos o más bajos a un punto de tiempo con un integrando más alto o más bajo). Por lo tanto, esperarías que la suma no esté sesgada positiva o negativamente - ya que la asignación es aleatoria y no se puede utilizar el conocimiento del integrando para sesgar la suma. Esta es la propiedad de martingala.

Answer 3

Se requieren un par de cosas para que esto funcione, los dos puntos clave son:

1. El Integral de Ito es un Martingala solo cuando el integrando no es forward-looking

es decir, cuando DEFINIMOS la suma de esta manera: \begin{align} \int^t_0 W_t dW_t = \sum^N_{i=1} W_{i-1}\bigl( W_i - W_{i-1}\bigr) \end{align}

Como se señala en los comentarios, esto no importaría en el mundo de Riemann, pero en el cálculo de Ito sumar $W_i$ en lugar de $W_{i-1}$ nos da un resultado diferente.

Observa los términos $i$ y $i-1$, serán importantes en el próximo paso.

Algunas pruebas más formales de esto se pueden encontrar aquí (página 17) y aquí (página 15)

2. Tu Expectativa no tiene en cuenta la correlación de $W_i$ y $W_{i-1}$

\begin{align} {\mathbb E} \Bigl[ W_iW_{i-1} - W_{i-1}^2\Bigr] &= {\mathbb E} [\Bigl(W_i - W_{i-1} + W_{i-1}\Bigr)W_{i-1} - W_{i-1}^2]\\ &= {\mathbb E} [ \Bigl(W_i - W_{i-1}\Bigr)W_{i-1} ] + {\mathbb E} [ W_{i-1}^2 ] - {\mathbb E} [ W_{i-1}^2 ]\\ &= {\mathbb E} [ \Bigl(W_i - W_{i-1}\Bigr)W_{i-1} ]\\ &= 0 \end{align}

Donde ${\mathbb E} [ \Bigl(W_i - W_{i-1}\Bigr)W_{i-1} ] = 0$ debido a incrementos independientes en el proceso de Wiener

Answer 4

Mi opinión sobre esto sería a través de la comprensión intuitiva de un Integral de Ito. Siento que es mejor interpretar el Integral de Ito relacionándolo con un juego de azar: el integrador (es decir, el movimiento Browniano con respecto al cual estamos integrando) es el resultado (aleatorio) del juego de azar, mientras que el integrando (la función que estamos integrando) es la estrategia de apuestas. La estrategia de apuestas puede ser determinística o aleatoria.

Por diseño, en cada punto en el tiempo cuando se coloca la estrategia de apuestas, el resultado (aleatorio) del juego de azar aún no se conoce, de manera similar a jugar a la ruleta en un casino (por eso el integrador debe ser prospectivo: por diseño, cuando se coloca la apuesta (es decir, $f()$ se conoce), el resultado del juego (es decir, el integrador $W(t)$) aún no se conoce.

Creo que podemos construir el Integral de Ito tanto: (a) desde el punto de vista del tiempo del apostador como (b) desde el punto de vista del tiempo del casino:

(a) Integral de Ito desde el punto de vista del apostador: sea $f(\omega_{t_i},t_i)$ la apuesta (posiblemente aleatoria) en el tiempo $t_i$, con $f(t_0)$ siendo la apuesta inicial y $\omega_{t_i}$ denotando algún resultado aleatorio en el tiempo $t_i$ ($\omega_t$ está adaptado a la misma filtración que $W_t$).

De hecho, la apuesta podría ser determinística e incluso constante, en cuyo caso $f(\omega_{t_i},t_i)=k$, o podría estar relacionada con los resultados que se van conociendo gradualmente a medida que avanza el juego, es decir, $f(\omega_{t_i},t_i)=f(W_{t_i})$

En general:

$$ I(f(\omega_h,h))_{h=t_0}^{h=t_n}:=\int_{h=t_0}^{t_n}f(\omega_h,h)dW(h)=\lim_{n \to\infty}\sum_{i=0}^{i=n-1}f(\omega_{t_i},t_i)\left(W(t_{i+1})-W(t_i) \right)$$

Arriba, en cada punto en el tiempo, el apostador coloca una apuesta pero aún no conoce el resultado aleatorio del juego en el siguiente punto en el tiempo.

(b) Integral de Ito desde el punto de vista del casino: sea $f(\omega_{t_i},t_i)$ la apuesta (posiblemente aleatoria) en el tiempo $t_i$, con $f(t_0)$ siendo la apuesta inicial. Entonces:

$$ I(f(\omega_h,h))_{h=t_0}^{h=t_n}=\lim_{n \to\infty} \sum_{i=1}^{i=n}f(\omega_{t_{i-1}},t_{i-1})\left(W(t_{i})-W(t_{i-1}) \right)$$

Arriba, en cada punto en el tiempo, el casino conoce el resultado del juego aleatorio, pero había conocido la apuesta del apostador antes de que el juego aleatorio hubiera comenzado.

Conclusión: intuitivamente, el valor esperado del Integral de Ito es cero, porque el integrador (es decir, el juego aleatorio) es (por diseño) independiente de la estrategia de apuestas. Dado que el integrador es una suma de incrementos independientes de movimiento Browniano, el valor esperado del Integral de Ito tiene que ser cero, es decir:

$$\mathbb{E}[I(f(\omega_h,h))_{h=t_0}^{h=t_n}]\approx \mathbb{E} \left[ \sum_{i=0}^{i=n-1}f(\omega_{t_i},t_i)\left(W(t_{i+1})-W(t_i) \right) \right]=\\=\sum_{i=1}^{i=n}\mathbb{E}[f(\omega_{t_i},t_{i-1})] \mathbb{E}[\left(W(t_{i})-W(t_{i-1}) \right)]=\\=\sum_{i=1}^{i=n}\mathbb{E}[f(\omega_{t_i},t_{i-1})] *0=0$$