Prueba de la concavidad de la función Cobb-Douglas

Question

Dada la función $F(\mathbf{x})=x^{a_1}_1x^{a_2}_2 \ldots x^{a_n}_n$ definido en el conjunto $S=\{\mathbf{x}=(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n: x_1>0, \ldots ,x_n>0\}$ con $a_1,a_2,\ldots,a_n > 0$ y $a_1+a_2+\ldots+a_n=3$ Quiero hacerlo:

(i) Demuestre que $\mathbf{x} \cdot \nabla F(\mathbf{x}) = 3F(\mathbf{x})$ en cada $\mathbf{x}$ , donde $\nabla F(\mathbf{x}) = (\frac{\delta F(\mathbf{x})}{\delta x_1},\ldots,\frac{\delta F(\mathbf{x})}{\delta x_n})$ .

He podido comprobar que $\mathbf{x} \cdot \nabla F(\mathbf{x}) = a_1x^{a_1}_1 + \ldots + a_nx^{a_n}_n$ pero no llegó más lejos. Necesito ayuda con esta parte.

(ii) Determinar si $F(\mathbf{x})$ es cóncavo en $\mathbf{x}$ en el plató $\mathbf{x}$ .

Mi primera idea fue utilizar una matriz hessiana, pero eso sería demasiado tedioso para esta función. ¿Hay algún método mejor?

Answer 1

Si miras el caso $x_1=x_2=\ldots x_n=t>0$ , usted tiene $$F(x_1,x_2,\ldots,x_n)=t^{a_1}\cdot t^{a_2}\cdots t^{a_n}.$$ Compruebe que la función $t\mapsto t^{a_1}\cdot t^{a_2}\cdots t^{a_n}$ no es cóncava. Esto implica que $F$ tampoco es cóncava.