Fórmula Black-Scholes bajo $T$ -medida anticipada

Question

El Precio Black-Scholes de una opción de compra europea viene dada por $$ C_0^{BS}(T, K) = \mathbb{E}_Q[e^{-rT}(S_T - K)_+] = S_0 \Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2) ,$$

donde $$ d_{1,2} = \frac{\log\big(\frac{S_0}{K}\big) + (r\pm \frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}, $$

y el subyacente $S_t$ tiene la siguiente dinámica bajo $Q$ :

$$ dS_t = rS_tdt + \sigma S_t dW^Q_t $$

Conozco la derivación de esta fórmula. ¿Existe una fórmula similar para la fijación de precios bajo una medida diferente? En particular, me preocupa el $T$ -Medida de avance, $Q^T$ .

Por ejemplo, si quiero valorar un derivado que tiene el valor $$ C_0(T, K) = P(0, T) \mathbb{E}_{Q^T}[(S_T - K)_+],$$ ¿puedo derivar una fórmula Black-Scholes similar?

Aquí está mi intento:

Dado que $\frac{dQ^T}{dQ} = \frac{1}{P(0, T)B(T)}$ entonces, bajo los supuestos de Black-Scholes (tasa corta constante) $ \frac{dQ^T}{dQ} = 1$ . Por lo tanto, la dinámica de $S_t$ en $Q^T$ son: $$ dS_t = rS_tdt + \sigma S_t dW^{Q^T}_t $$ Entonces, se puede imitar la prueba de la fórmula de Black-Scholes: \begin{align} C_0(T, K) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(S_0\exp\{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma\sqrt{T}z\} - K)_+ e^{-\frac{z^2}{2}} \end{align} entonces, el integrando sólo es distinto de cero cuando $$ z > \frac{\log{\frac{K}{F}} + \frac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}} := -\tilde{d_2} $$ donde $F = S_0e^{rT}$ . Me saltaré el resto de la prueba porque es básicamente idéntica a la derivación de la fórmula Black-Scholes. Esto da como resultado

$$ C_0(T, K) = P(0, T) [F \Phi(\tilde{d_1}) - K\Phi(\tilde{d_2})] $$

donde $$ \tilde{d}_{1,2} = \frac{\log\big(\frac{F}{K}\big) \pm \frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma \sqrt{T}}. $$

¿Le parece correcto?

Answer 1

Sí, tienes razón: la fórmula que has encontrado es la llamada Fórmula negra .

Lo que se demostró es que bajo el supuesto de Black-Scholes de una tasa constante, trabajando bajo la medida neutral de riesgo o bajo la $T$ -la medida hacia adelante es exactamente la misma.

Sin embargo, cuando los tipos son estocásticos, no se conoce el valor de $B_T = e^{\int_0^T{r_t \mathrm{d} t}}$ y trabajar bajo $Q$ hay que calcular toda la integral dentro de la expectativa, y encontrar una solución de forma cerrada es difícil; utilizar métodos numéricos no es más fácil.

Sin embargo, usted conoce el valor de $P(0, T)$ y el precio a plazo $\frac{S_t}{P(t, T)}$ es una martingala. Nótese que su término de difusión es $\sqrt{\sigma^2 + \sigma_P^2 - 2 \rho \sigma \sigma_P}$ por lo que necesita una estimación de la volatilidad del precio del bono $\sigma_P$ y la correlación de bonos al contado $\rho$ y puede entonces utilizar la solución de forma cerrada más simple bajo la $Q^T$ -medida.