Subasta con opción de compra

Question

Tenga en cuenta el precio de compra que a menudo se incluye en las subastas en línea. Supongamos que 2 postores en una subasta oral (inglesa) ascendente pujan por un objeto. Cada uno tiene valores i.i.d uniformemente en $[0,1]$ . Supongamos que la subasta tiene un precio de compra de $B \ge 1/2$ Cualquiera de los postores puede terminar la subasta pagando $B$ . Supongamos que hay un equilibrio cuando la puja alcanza $p(x)$ que un postor con valor $x\geq B$ pagará $B$ (es decir $p(x)$ es el límite cuando un licitador con valor $x$ paga el precio de compra). Supongamos también que $p'(x)<0$ . i) ¿Qué precio, condicionado a ganar, tiene un comprador con valoración $x$ que se espera pagar (en función de $x$ y $p(x)$ )?

Parece razonable suponer que los licitadores no ofertarán más de $p(x)$ . Por lo tanto, $b_1,b_2\in[0,p(x)]$ . Entonces, tiene sentido considerar dos casos: cuando $x<p(x)$ . En este caso, el pago esperado es simplemente el pago esperado del licitador de menor valoración, es decir, $\frac{p(x)}{2}$ .

En segundo lugar, debemos considerar el caso de que $x>p(x)$ El pago esperado es aquí, la probabilidad de enfrentarse a un pago por debajo de $p(x)$ -de su oponente, multiplicado por su oferta, más la probabilidad de enfrentarse a un $p(x)$ -valoración del oponente por la probabilidad de ganar (los empates se rompen al azar) por $p(x)$

$$p(x)*\frac{p(x)}{2}+(1-p(x)*\frac{1}{2}*p(x))=\frac{1}{2}p(x)$$

ii) Asumiendo la neutralidad del riesgo, utilizando el hecho de que el pago esperado con valoración $x$ es el mismo sin la opción de compra (a saber, $1/2x$ ), lo que es $p(x)?$ (Nota: deberías obtener una ecuación cuadrática; una root será $p(x)=x$ pero esta no es la solución, ya que $p'(x)<0$ )

No estoy seguro de cómo resolver esta parte, y estoy dudando de mi respuesta a la primera parte dado que no sé cómo me permite derivar $p(x)$ .

Answer 1

Así es como yo enfocaría la primera pregunta:

• Estamos condicionando el hecho de que haya ganado. Dada la simetría, esto implica que su valoración $x$ es mayor que la valoración de su oponente $y$ .

• Dado que ha ganado, paga el "precio de la subasta" o $B$ . Si no pagas $B$ Se paga entre $0$ y $p(x)$ . El precio esperado de la subasta es el valor esperado del segundo mayor sorteo, por lo que en realidad $p(x)/3$ - no $p(x)/2$ como parece decir (intuitivamente, la valoración esperada del menor postor debe ser inferior a la valoración esperada incondicional).

• La probabilidad de que usted pague el precio de la subasta es la probabilidad de que la valoración de su oponente $y$ está por debajo de su límite $p(x)$ . Esto se debe a que su oponente abandonará la puja en cuanto el precio supere su valoración. $Pr(y < p(x)) = p(x)$ desde $y$ es uniforme en $[0, 1]$ .

• Por lo tanto, suponiendo que ganes, la probabilidad de que pagues $B$ es $1 - p(x)$ .

• Juntando estas afirmaciones, concluyo que su pago esperado condicionado a ganar es igual: $(p(x)/3)p(x) + B(1 - p(x))$ .

• Para comprobar la verosimilitud de este hecho, establezca $p(x) = 1$ por lo que efectivamente la opción de compra desaparece, y arroja un pago esperado de $1/3$ . Este es el resultado estándar para $2$ compradores y una distribución uniforme.