¿Cómo demostrar que una función de utilidad U(x,y)=min(x,2y) es cuasicóncava?

Question

Tengo una pregunta que se hace:

"Sean dos bienes 1 y 2. Que $x$ y $y$ denotan sus respectivas cantidades. $(x,y)$ representa un paquete. Supongamos que las preferencias de un consumidor sobre los paquetes en $R^2_+$ puede representarse mediante la función de utilidad $U(x,y)=min(x,2y)$ . Demuestre que las preferencias del consumidor sobre los paquetes en $R^2_+$ son convexos demostrando que la función de utilidad es cuasicóncava en $R^2_+$ "

Me enseñaron que si una función de utilidad es cuasicóncava, entonces $\begin{vmatrix} 0 & U_x & U_y \\ U_x & U_{xx} & U_{xy} \\ U_y & U_{yx} & U_{yy} \\\end{vmatrix} > 0 \forall (x, y) \in R^2_+$

Sin embargo, cuando empiezo a hacer las derivadas parciales, noto que obtengo:

$\frac{\partial U}{\partial x} = \begin{cases}1, && x \le 2y \\ 0, && x > 2y\end{cases},$ $\frac{\partial U}{\partial y} = \begin{cases}0, && x \le 2y \\ 2, && x > 2y\end{cases},$

$\frac{\partial U}{\partial x^2} = \begin{cases}0, && x \le 2y \\ 0, && x > 2y\end{cases},$ $\frac{\partial U}{\partial y^2} = \begin{cases}0, && x \le 2y \\ 0, && x > 2y\end{cases},$

$\frac{\partial U}{\partial xy} = \begin{cases}0, && x \le 2y \\ 0, && x > 2y\end{cases},$ $\frac{\partial U}{\partial yx} = \begin{cases}0, && x \le 2y \\ 0, && x > 2y\end{cases}$

A continuación, tengo $\begin{vmatrix} 0 & U_x & U_y \\ U_x & U_{xx} & U_{xy} \\ U_y & U_{yx} & U_{yy} \\\end{vmatrix} = \begin{cases}0, && x \le 2y \\ 0, && x > 2y\end{cases}$

Aquí es donde estoy atascado. No estoy seguro de si:

a) He cometido un error en alguna parte

b) mi método es erróneo

c) Todo lo que he hecho hasta ahora es correcto, pero necesito hacer otro paso

Por favor, hágame saber si necesito proporcionar más información, gracias

Answer 1

Una función $f:D\rightarrow \mathbb{R}$ se dice que es cuasicóncava si el siguiente conjunto es un conjunto convexo para cada valor de $a\in\mathbb{R}$ : $P_a = \{x\in D: f(x) \geq a\}$

Para demostrar que $f(x,y) =\min(x, 2y)$ es cuasicóncava, sólo tenemos que demostrar que $P_a = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \min(x, 2y) \geq a\}$ es un conjunto convexo. Para ello consideramos arbitraria $(x', y')$ y $(x'', y'')$ del conjunto $P_a$ y arbitraria $\lambda\in [0,1]$ y demostrar que $\lambda (x', y')+(1-\lambda)(x'', y'')$ está en $P_a$ . Observe que $x'\geq \min(x', 2y')\geq a$ y $x''\geq \min(x'', 2y'')\geq a$ Así que $\lambda x'+(1-\lambda)x''\geq a$ . Igualmente, $\lambda 2y'+(1-\lambda)2y''\geq a$ . Por lo tanto, se deduce que $\min(\lambda x'+(1-\lambda)x'',2(\lambda y'+(1-\lambda)y'')) \geq a$ y en consecuencia, $\lambda (x',y')+(1-\lambda)(x'', y'')$ está en $P_a$ .