Comparación del valor actual del pago total hoy y de los pagos parciales en 3 meses

Question

Estoy tratando de comprar algo. Puedo pagar $2495 in a lump sum payment, or $ 997 en 3 mensualidades.

Digamos que puedo invertir en la bolsa y obtener un 8% de rendimiento de mi dinero.

¿Cuál es el valor actual de utilizar el plan de pagos?

Me salieron 3394,83 dólares pero tengo dudas de que sea correcto porque los 3 pagos me confundieron un poco. Si fueran 3 pagos en 3 años, sería más fácil.

• Primer pago de 997 dólares = 2,67%.
• Segundo pago = 5,4%.
• Tercer pago = 8,22%

Por favor, muestra cómo has obtenido tu respuesta si puedes.

Answer 1

Es una pregunta un poco tonta porque nadie cree que se pueda ganar un 8% a corto plazo en el mercado, pero para argumentar las matemáticas es dolorosamente fácil. Hay que tener en cuenta que soy ingeniero, no financiero.

Así que el primer pago te hará ganar un mes al 8%, el segundo, dos. En efecto, tres meses al 8% sobre 997. Puedes hacerlo así porque los pagos son iguales:

997 * (.08 /12) *3 = ganancias ~= 20

Así que con el segundo método se paga:

997 * 3 - 20 = 2971

Answer 2

¿Cuál es el valor actual de utilizar el plan de pagos?

En sentido común, el valor actual de un préstamo es el valor que se puede pagar en el presente para evitar tomar un préstamo, que en este caso es el pago único de 2495 dólares. Eso supone más bien que la pregunta es un truco, que proporciona información irrelevante sobre el mercado de valores.

Sin embargo, si se requiere alguna interpretación extraña que ignore la suma global y quiera saber cuánto necesita en el presente para pagar el préstamo pudiendo ganar un 8% en la bolsa se puede hacer.

En un principio, supondré que, dado que la TAE del prestamista sale en torno al 9,6% mensual, el 8% de la bolsa también es mensual, pero también calcularé para un 8% efectivo anual y un 8% nominal anual.

El cálculo

Si tienes $x en la mano (valor actual) y es exactamente suficiente para tomar el préstamo mientras que invirtiendo en la bolsa, el valor en meses sucesivos es $x más la rentabilidad del mercado menos el pago del préstamo. En el tercer mes se paga el préstamo, por lo que el saldo es cero. Es decir

v1 = 1.08 x - 997
v2 = 1.08 v1 - 997
v3 = 1.08 v2 - 997 = 0

∴ v3 = 1.08 (1.08 (1.08 x - 997) - 997) - 997 = 0

∴ x = 2569.37

Por tanto, el valor actual de utilizar el plan de pagos mientras se invierte es de 2569,37 dólares.

Necesitarías $2569.37 to cover the loan while investing, which is more than the $ 2495 de pago a tanto alzado requiere. Por lo tanto, sería aconsejable hacer el pago de la suma global porque es menos costoso: Si tiene $2569.37 in hand it would be best to pay the lump sum and invest the remaining $ 74,37 en la bolsa. De lo contrario, se invierte $2569.37 (initially), pay the loan and end up with $ 0 en tres meses.

Cabe preguntarse qué tasa de rendimiento tendría que ofrecer el mercado de valores para que merezca la pena aceptar el préstamo.

Se puede calcular la TAE propuesta por el préstamo.

El valor actual de un préstamo es igual a la suma de los pagos descontados al valor actual. Es decir, con

s = present value of loan
n = number of periods
d = periodic payment
r = periodic interest rate

∴ por inducción

Así que comparando el $2495 lump sum payment with $ 997 en 3 x mensualidades se puede encontrar el tipo de interés que implica el préstamo.

s = (d - d (1 + r)^-n) / r

∴ 2495 = (997 - 997 (1 + r)^-3) / r

Resolviendo para r

r = 0.0964431 = 9.64431 % per period (month)

∴ APR = 9.64431 * 12 = 115.732 % nominal compounded monthly

  or (1 + 0.0964431)^12 - 1 = 201.879 % effective annual interest

Si se pudiera obtener un 9,64431% al mes en el mercado de valores, el efectivo en mano $x necesario se calcularía de la siguiente manera

v1 = 1.0964431 x - 997
v2 = 1.0964431 v1 - 997
v3 = 1.0964431 v2 - 997

∴ v3 = 1.0964431 (1.0964431 (1.0964431 x - 997) - 997) - 997 = 0

∴ x = 2495

Esto es igual al pago de la suma global, por lo que el interés calculado es comparable a la tasa de rendimiento del mercado de valores. Si pudiera ganar más que el 9,64431% mensual en la bolsa sería mejor invertir y tomar el préstamo.

Formulario de Recurrencia

La resolución de la forma de recurrencia muestra que el cálculo es equivalente a la fórmula del préstamo, por ejemplo

v1 = 1.08 pv - 997
v2 = 1.08 v1 - 997
v3 = 1.08 v2 - 997

se convierte en v[m + 1] = (1 + y) v[m] - p donde v[0] = pv

donde

m is the month number
v[m] is the value in month m
y is the stock market yield
p is the payment amount
pv is the present value

∴ v[m] = (p + (1 + y)^m (pv y - p)) / y

En el último mes v[final] = 0 es decir, cuando m = 3

(p + (1 + y)^m (pv y - p)) / y = 0

∴ pv = (p - p (1 + y)^-m) / y

Compárese con la fórmula de préstamo anterior: s = (d - d (1 + r)^-n) / r

Son exactamente equivalentes, lo cual es bastante interesante, (porque no era inmediatamente obvio para mí que lo que el prestamista cobra es el espejo opuesto de lo que se gana invirtiendo).

El valor actual puede calcularse ahora mediante la fórmula.

Siguiendo con el supuesto de que la rentabilidad bursátil del 8% es por mes.

m = 3
p = 997
y = 0.08

pv = (p - p (1 + y)^-m) / y

∴ pv = (997 - 997 (1 + 0.08)^-3) / 0.08 = 2569.37

Si el rendimiento bursátil es del 8% anual el tipo efectivo

monthly yield, y = (1 + 0.08)^(1/12) - 1 = 0.00643403

∴ pv = (997 - 997 (1 + 0.00643403)^-3) / 0.00643403 = 2952.92

y si se da como rendimiento nominal anual, el 8% compuesto mensualmente

monthly yield, y = 0.08 / 12 = 0.00666667

∴ pv = (997 - 997 (1 + 0.00666667)^-3) / 0.00666667 = 2951.56

Answer 3

Tengo 3394,83 dólares

El primer problema de esto es que es al revés. El VAN (Valor Actual Neto) de tres pagos futuros de $997 has to be less than the nominal value. The nominal value is simple: $ 2991.

Primer paso, convertir la rentabilidad anual del 8% de la bolsa en una rentabilidad mensual. Todo el mundo asumió que el 8% es una rentabilidad mensual, pero eso es claramente absurdo. La forma correcta de hacerlo sería resolver para m en

(1 + m/100)^12 = 1 + 8/100
m = 100 * (1.08)^(1/12) - 100
m = .64%

Pero a menudo lo aproximamos dividiendo el 8% entre 12, lo que sería un 0,67%. De cualquier manera, se divide cada pago por el número de meses de capitalización.

$997 / (1 + m/100)
$997 / (1 + m/100)^2
$997 / (1 + m/100)^3

Resumirlos utilizando m igual a aproximadamente 0,64% (dejé el valor calculado en la memoria y lo utilicé en lugar del valor redondeado) y se obtiene aproximadamente $2952.92 which is smaller than $ 2991.

Obviamente $2952.92 is much larger than $ 2495 y no deberías hacer esto. Si los tres pagos fueran de 842,39 dólares, entonces estaría en equilibrio.

Tenga en cuenta que esto no tiene en cuenta el riesgo. En un periodo de tres meses, es tan probable que el mercado de valores no alcance una rentabilidad anualizada del 8% como que la supere. Esto tendría más sentido si su alternativa fuera pagar parte de su hipoteca inmediatamente y tomar los pagos o yp pagar una suma global ahora y aumentar los pagos futuros de la hipoteca. Entonces su rentabilidad sería más segura.

Alguien ha señalado en un comentario que normalmente se basa el VAN en el tipo de interés de los pagos. Eso es para calcular el VAN para el que hace el préstamo. En este caso, queremos calcular el VAN para el prestatario. Así que la pregunta es qué haría el prestatario con el dinero si hiciera pagos y no la suma global.

La pregunta supone que el prestatario invertiría en el mercado de valores, que es una opción arriesgada y normalmente no aconsejable. Sugiero una alternativa basada en la hipoteca. Si el prestatario va a meter el dinero bajo el colchón hasta que lo necesite, la respuesta es sencilla. El valor nominal de 2991 dólares es también el VAN, ya que los colchones no pagan intereses. Del mismo modo, hoy en día muchos bancos no pagan intereses por las cuentas corrientes. Así que para alguien que se enfrente a una decisión real como ésta, casi siempre recomendaría pagar la suma global y acabar con ella. Incluso si los pagos son "igual que el efectivo", sin que se cobre una prima.