Fórmula para la varianza de la compra/venta europea en Black Scholes

Question

Tengo una pregunta bastante básica, pero no encuentro una referencia con ella.

Recordemos que podemos utilizar la fórmula de Black-Scholes para fijar el precio de una opción de compra o de venta europea para un mercado consistente cuando:

• el activo subyacente siguiendo un movimiento browniano geométrico;
• el tipo de interés libre de riesgo se considera constante;
• la volatilidad de los rendimientos de los activos subyacentes es constante.

Al derivar esto, se escribe el call/put como expectativas de pagos descontados, por ejemplo $C=E^Q[\exp^{-rT}(S_T-K)_+]$ para la llamada ( $Q=$ prob. neutral al riesgo), donde $(S_t)$ sigue un movimiento browniano geométrico.

Mi pregunta es: ¿cuál es la varianza de lo que se encuentra en el soporte? Pregunto esto para calls y puts.

Answer 1

Sólo esbozo cómo se puede derivar la fórmula. En su escenario tenemos $S_T=s_0e^{\sigma W_T-\frac{1}{2}\sigma^2T}$ . W.l.o.g ponemos $s_0=1$ . Por lo tanto, $S_T$ tiene una distribución lognormal y $S_T^2=e^{2\sigma W_T-\sigma^2T}$ que sigue siendo lognormal. $Var(X)=E[X^2]-E[X]^2$ . Sólo tenemos que calcular $E[X^2]$ . Sea $A:=\{S_T>K\}$

$$E[X^2]=E[(S_T-K)_+^2]=E[S_T^2\mathbf1_A]-2KE[S_T\mathbf1_A]+K^2Q[A]$$

Ahora los dos últimos términos ya los has calculado en la derivación habitual de Black Scholes. Para el primero se utilizan las mismas técnicas que para $E[S_T\mathbf1_A]$ con una distribución lognormal diferente.