Equilibrio perfecto para estrategias puras y mixtas

Question

En un libro de texto de teoría de juegos hay algo similar a la tabla de abajo donde hay un equilibrio nash de estrategia pura y múltiples equilibrios nash de estrategia mixta. Se trata de un juego simultáneo con los resultados que se presentan a continuación.

Si asumimos que este juego se juega dos veces ¿Cómo identifico todos los equilibrios perfectos para este juego, así como el equilibrio nash que no es un equilibrio perfecto?

Para un juego con múltiples equilibrios nash de estrategia pura creo que puedo encontrar una solución utilizando la inducción hacia atrás, pero para un juego como éste con un solo equilibrio nash de estrategia pura y múltiples equilibrios nash de estrategia mixta, no tengo ni idea de cómo identificar los equilibrios perfectos de subjuego y, posiblemente, un equilibrio nash que no sea equilibrio perfecto de subjuego, especialmente cuando hay equilibrios de estrategia mixta incluidos.

Se agradecería cualquier ayuda al respecto.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & A & B & C \\\hline A & (1,1) & (0,0) & (0,0)\\\hline B & (0,0) & (2,1) & (1,2)\\\hline C & (0,0) & (1,2) & (2,1)\\\hline \end{array}

Answer 1

1. Comprobar los equilibrios de Nash (puros o mixtos) del juego de una sola jugada.
2. La repetición del perfil de estrategia de los equilibrios de Nash de la versión de una sola jugada produce un conjunto de equilibrios perfectos de subjuego: Por ejemplo, el juego $(A,A)$ en la primera etapa y para cualquier perfil de acción jugado en la primera etapa, jugar $(A,A)$ en la segunda etapa. Lo mismo ocurre con los mixtos (completos o no). Por ejemplo, el SPNE totalmente mixto es :Play $\left(\frac{3}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{5}\right)$ en la primera etapa y para cualquier perfil de acción (suponiendo que la aleatoriedad sea observable), jugar $\left(\frac{3}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{5}\right)$ en la segunda etapa.
3. Las combinaciones de los equilibrios de Nash del juego de una sola jugada producen otro conjunto de SPNE: Por ejemplo, el juego $(A,A)$ en la primera etapa y jugar $\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ para cualquier perfil de acción en la segunda etapa y así sucesivamente.
4. Utiliza amenazas creíbles para jugar un perfil de acción no Nash en el primer período: Jugar $(B,B)$ en la primera etapa. En la segunda etapa, si $(B,B)$ se jugó, jugar $\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ . Para cualquier otro perfil de acción en la primera etapa, juega el equilibrio de Nash totalmente mixto del juego de una sola jugada. ¿Por qué funciona esto? No hay ningún incentivo para que el jugador 1 se desvíe de todos modos porque está jugando su mejor respuesta en la primera etapa. Para el jugador 2, si se desviara a $C$ . recibirían $2$ en la primera etapa y $1/3$ en la segunda etapa. Suponiendo que no hay descuento, obtienen $7/3$ mientras que si obedecieran la estrategia, obtendrían $(1+3/2)$ que es estrictamente mayor. Del mismo modo $(C,C)$ , $(B,C)$ y $(C,B)$ pueden jugarse como perfiles de acción de primera etapa en un equilibrio perfecto de subjuego.

Answer 2

Añadiendo a la respuesta de @soslow: una vez que se tiene un SPE, debería ser fácil construir una NE no perfecta para el subjuego modificando las acciones fuera de equilibrio de tal manera que 1) los jugadores no tengan incentivos para desviarse a esas acciones y 2) el perfil de acción no sea una NE en ningún subjuego.

Por ejemplo, una SPE del juego es

jugar $(A,A)$ en la etapa 1, y jugar $(A,A)$ en la etapa 2, independientemente del resultado de la etapa 1.

Podemos modificar esto a

jugar $(A,A)$ en la etapa 1, y jugar $(A,A)$ en la etapa 2 si el resultado de la etapa 1 es $(A,A)$ , si no es así, juega $(A,C)$ .

Este perfil de estrategia modificado es una NE, ya que los jugadores siguen respondiendo mejor jugando $(A,A)$ en ambas etapas (el resultado de la trayectoria fuera del equilibrio $(A,C)$ está dominado en Pareto por $(A,A)$ ). Sin embargo, como $(A,C)$ no es una NE en ningún subjuego, el perfil estratégico modificado no es perfecto en el subjuego.