Relación entre las demandas de $x, y$ y $z$

Question

Pregunta : Consideremos un consumidor con función de utilidad $U(x,y,z)=y\min\{x,z\}$ . Los precios de los tres bienes son los mismos. El consumidor tiene 100 dólares para gastar en estos tres bienes.Las demandas serán tales que:

(a) $y<x=z$

(b) $y>x=z$

(c) $x=y=z$

(d) Ninguna de las anteriores

Mi intento : El consumidor consumirá cantidades iguales de $x$ y $z$ porque de lo contrario la asignación sería ineficiente, es decir, puede obtener el mismo nivel de utilidad gastando menos. Así que $x=z$ . No puedo entender cómo es $y$ relacionado con $x$ y $z$ . Creo que la respuesta sería (d) Ninguna de las anteriores porque no importa si $y$ es menor o mayor que $x$ y $z$ .

Answer 1

Dejemos que $\min\{x,z\}=\Omega$ , donde $P_\Omega=P_x+P_z$ . Ahora el problema es $U(y,\Omega)=y\Omega$ que es un Cobb-Douglas estándar con grado 2 de homogeneidad. Ahora bien, en este caso la elección para cada bien es:

$y^*=\frac{\alpha_y100}{P_y(\alpha_y+\alpha_\Omega)}\implies y^*=\frac{100}{2P_y}\;\;\;\;\;\;\;$ en este caso $\alpha_y=\alpha_\Omega=1$

Para $\Omega$ : $\;\;\;\;\;\Omega^*=\frac{\alpha_\Omega100}{P_\Omega(\alpha_y+\alpha_\Omega)}\implies \Omega^*=\frac{100}{2P_\Omega} \implies \Omega^*=\frac{100}{2(P_x+P_z)}$

Ahora bien, como $P_x=P_y=P_z$ , dejemos que $P_x=P_y=P_z=P$ un precio general, por lo que se sustituye en nuestros óptimos:

$y^*=\frac{100}{2P}\;\;\;\;\;\Omega^*=\frac{100}{4P}$

Ahora es sencillo (puesto que ya sabemos $x^*=z^*$ y como este es el óptimo para $\min\{x,z\}$ que es $x$ O $z$ ) que $y^*=\frac{100}{2P}>\Omega^*=\frac{100}{4P}$ así que esto implica que..:

$y^*>x^*=z^*\;\;$ ****

También encontré este documento, donde esta pregunta es la número 13.

Espero que esto ayude.

Descargo de responsabilidad: Sería útil que otras personas evaluaran esta aproximación, ya que nunca había visto este problema.

Answer 2

Pista: Supongamos que el precio de los bienes es $P$ para que $N=100/P$ bienes pueden permitirse en total. Ahora considere cuál de los siguientes produce más utilidad:

a) $x=y=z=N/3$ .

b) $x=z=N/4$ y $y=N/2$ .

Answer 3

No he visto esto en ningún libro de texto mío, pero aquí está mi intento:

Dado que la función de utilidad (1) es el producto de la cantidad de y y la cantidad mínima de x o z (así, $min \{x,z\}$ es un valor singular, digamos 15 unidades o 27 unidades, etc.) y (2) $x=z$ para cada valor de x o z, la función de utilidad se convierte en

1. $U(y, x=z)=yx$ o
2. $U(y, z=x)=yz$

Tomando el primer caso (y lo mismo funciona para el segundo), la maximización da la solución para $$ MRS_{XY} = \frac{p_X + p_Z}{p_Y} $$ donde $ MRS = dy/dx = MU_x/MU_y = {y}/{x}$ y como $p_X = p_Z = p_Y$ obtenemos $$ y/x = 2 $$ así que al final: $$ y = 2x =2z$$ y en general $y>x=z$ .