¿Es la varianza aditiva sólo bajo Log-returns?

Question

Parece que no puedo resolver esto pensando en ello. Digamos que el retorno simple $R_t=P_{t+1}/P_t -1$ se supone que es $R_t \sim iid N(0,\sigma^2)$ . Por lo tanto, un retorno de dos períodos sería $(1+R_t)(1+R_{t+1})-1$ . ¿Sería la varianza del rendimiento de dos períodos igual a $2\sigma^2 + \sigma^4$ ?

$$Var((1+R_t)(1+R_{t+1})-1)=Var(1+R_{t+1}+R_t+R_tR_{t+1})$$ $$ = 2\sigma^2 +Var(R_tR_{t+1}) = 2\sigma^2 + \sigma^4$$ ya que la varianza de dos productos de variables aleatorias independientes es sólo el producto de la varianza de ambas variables aleatorias (con $\mu=0$ ).

Con los rendimientos logarítmicos, los rendimientos se vuelven aditivos y dos períodos serían $log(1+R_t)+log(1+R_{t+1})$ y la varianza es igual a

$$Var(log(1+R_t)+log(1+R_{t+1})) = Var(log(1+R_t))+Var(log(1+R_{t+1}))=\sigma^2 + \sigma^2$$

¿Me he perdido algo?

Answer 1

Si se utilizan las rentabilidades logarítmicas, entonces es cierto que la rentabilidad de n períodos es la suma de las rentabilidades de cada subperíodo (por ejemplo, la rentabilidad de 10 días es la suma de 10 rentabilidades de 1 día) $$ R = \sum_{i=1}^n r_i. $$ Si ahora observamos la varianza de $R$ entonces obtenemos $$ VAR(R) = VAR( \sum_{i=1}^n r_i ), $$ si suponemos que los rendimientos no están correlacionados entonces obtenemos $$ VAR(R) = \sum_{i=1}^n VAR(r_i ). $$ si finalmente asumimos que $VAR(r_i) = \sigma^2$ es decir, es el mismo para cada día, entonces obtenemos $$ VAR(R) = n \sigma^2. $$

EDIT: en tu ecuación anterior tienes la expresión $VAR(R_tR_{t+1})$ . Esto no es (!) $\sigma^4$ como $R_t$ y $R_{t+1}$ suelen ser 2 variables aleatorias diferentes. Pueden tener la misma varianza $\sigma^2$ pero esto no significa que $VAR(R_tR_{t+1}) = E[R_t^4]$ .

Esta expresión es más bien: $$ VAR(R_tR_{t+1}) = E[(R_tR_{t+1})^2]-E[R_tR_{t+1}]^2, $$ y $E[R_tR_{t+1}]$ está conectada a la autocorrelación del retardo.

Answer 2

Debería aclarar un poco su pregunta.

1. Su primer cálculo con $$Var((1+R_t)(1+R_{t+1})-1)$$ es ambiguo. ¿Qué quiere decir con $Var$ ¿Aquí? Tienes subíndices de tiempo $t$ y $t + 1$ así que, a menos que especifique qué filtración calcula su varianza, no está claro qué está calculando.

2. Si usted está computando en $t = 0$ Entonces no se trata de un retorno de dos períodos (especialmente cuando $t > 1$ ).

3. Si usted está computando en $\tau = t$ entonces el $t$ -Las variables aleatorias medibles quedan fuera del cálculo de la varianza.

4. En cuanto a tu cálculo de retorno del registro, sólo estás abusando de las notaciones. Tenga en cuenta que si $Z \sim N(\mu, \sigma)$ entonces definitivamente no es cierto que $Var ( log (1 + Z) ) = \sigma^2$ .

Answer 3

La varianza es aditiva también para cualquier otra distribución.

La razón por la que la varianza es aditiva es porque se supone que los incrementos son independientes, es decir, se supone que el cambio en el valor subyacente entre 2 momentos es independiente del cambio en el valor entre 2 momentos posteriores