Si una relación de preferencia racional sobre loterías simples $\succsim$ son convexos entonces satisfacen la independencia?

Question

Digamos que hay una situación incierta con $N$ posibles consecuencias $C = \{C_1, . . . C_N\}$ . Supongamos que existe una relación de preferencia racional $\succsim$ sobre simples loterías.

Sé que si $\succsim$ satisface la independencia, entonces también es convexo pero, ¿es cierto que $\succsim$ son convexos entonces satisfacen la independencia? ¿Cómo puedo demostrarlo (si la implicación es cierta)?

Answer 1

1. Es bien sabido que si $\succsim$ satisface la independencia, entonces también es convexo .

Desde $\succsim$ satisface la independencia, $L\succsim L^{'} \iff \alpha L+(1-\alpha)L^{''}\succsim \alpha L^{'}+(1-\alpha)L^{''}$ para todos $\alpha \in [0,1]$ y $ L, L^{'}, L^{''}\in \mathfrak{L} $

La convexidad requiere:

$L\succsim L^{''}$ y $L^{'}\succsim L^{''} \Longrightarrow \alpha L$ + $(1-\alpha)L^{'} \succsim L^{''}$ para todos $\alpha \in \left[0,1\right]$ y $ L, L^{'}, L^{''}\in \mathfrak{L} $

Escoge cualquier $ L, L^{'}, L^{''}\in \mathfrak{L} $ con $L \succsim L^{''}$ y $L^{'} \succsim L^{''}$ . Por la exhaustividad, $L \succsim L^{'}$ o $L^{'} \succsim L$ o ambos. Sin pérdida de generalidad, supongamos $L \succsim L^{'}$ . Entonces, por independencia, para todo $\alpha \in [0,1]:$

$ \alpha L$ + $( 1- \alpha) L^{'} \succsim \alpha L^{'} + (1-\alpha)L^{'} = L^{'} \succsim L^{''} $ que queríamos mostrar.

2. ¿Es cierto que si $\succsim$ son convexos entonces satisfacen la independencia?

Por otro lado, la convexidad no implica independencia. Para ver esto, eche un vistazo a la figura (véase más abajo). Los triángulos son curvas de indiferencia y las flechas muestran la dirección en la que la utilidad aumenta. Es convexa, pero no independiente.