Valor del crédito contingente en un momento dado

Question

Consideremos un crédito contingente cuyo valor al vencimiento T viene dado por

$\min(S_{T_0}, S_T)$

donde $T_0$ es un tiempo intermedio antes de la madurez, $T_0 < T$ y $S_T$ y $S_{T_0}$ son el precio del activo en $T$ y $T_0$ respectivamente. Suponiendo el proceso geométrico browniano habitual para el precio del activo subyacente que no paga dividendos, demuestre que el valor del crédito contingente en el momento $t$ viene dada por

$C(T-T_0, s) = S[1-N(d_1)+e^{r(T-T_0)}N(d_2)]$

donde S es el precio del activo en el momento $t$ y

$d_1 = \frac{\left( r+ \frac{\sigma^{2}}{2} \right)(T-T_0)}{\sigma \sqrt{T-T_0}}, d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-T_0}$

Ya hice una pregunta parecida pero ahora estoy confundido cuando se aplica la función min. Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Esto está relacionado con la valoración de una opción de salida a plazo. Supongamos el mundo de Black-Scholes (vol constante) y por simplicidad byt sin pérdida de generalidad pondré $r=q=0$ .

Observe que $$ \min(S_T,S_t) = S_T - (S_T - S_t)_+ $$ El valor de este crédito en el momento $0$ es \begin{align} E_0 \left[ \min(S_T,S_t) \right] &= E_0\left[S_T \right] - E_0 \left[(S_T - S_t)_+\right] \\ &= S_0 - E_0 \left[(S_T - S_t)_+\right] \end{align}

El segundo término es una opción de salida hacia delante de la ATM de tipo II. Para valorarlo utiliza el "truco del condicionamiento": \begin{align} E_0 [\left[(S_T - S_t)_+\right] &= E_0 \left[ E_t \left[(S_T - S_t)_+\right] \right] \\ &= E_0 [C(S_t,S_t,T-t)] \\ &= E_0 [S_t C(1,1,T-t)] \\ &= S_0 C(1,1,T-t) \end{align} con $C(1,1,T-t)$ la función de precio de compra Black-Scholes con el precio al contado $1$ y la huelga $1$ .

Así que, $$ E_0 \left[ \min(S_T,S_t) \right] = S_0 \left(1 - C(1,1,T-t) \right) $$