Un problema de comer pasteles en tiempo continuo: ¿Hamiltoniano o HJB?

Question

El problema estándar de tiempo continuo de comer pasteles se define como sigue:

$$\max_{c(t)}\int_0^\infty e^{-rt} \ln (c(t)) dt$$ con sujeción a $$f(k(t))=k(t)$$ $$\dot{k}(t)=-c(t)$$

Abordando este problema mediante el uso de la Ecuación de Bellman de Hamilton Jacobi (el análogo en tiempo continuo de la de Bellman en tiempo discreto) con la caída apropiada de la parametrización del tiempo tenemos: $$rv(k)=ln(c)+v'(k)\dot{k}$$

Sin embargo, en el contexto de la utilización del hamiltoniano (valorado en el presente) propiamente dicho, tenemos: $$\mathcal{H}=e^{-rt} \ln(c(t))+\lambda(t)\dot{k}(t)$$

Mi pregunta es, ¿en qué circunstancias se utilizaría el hamiltoniano sobre el HJB?

Para más detalles sobre esta cuestión, véase:
https://math.stackexchange.com/questions/3293825/transversality-condition-with-unbounded-value-function

Answer 1

El comentario del usuario @MaartenPunt es acertado. No creo que en general se puedan identificar situaciones en las que se deba tener una clara preferencia por una formulación sobre la otra. Es más bien una cuestión de casos específicos (y quizás para algunos problemas retorcidos en los que uno de los dos puede fallar por razones generalmente técnicas). Véase este post para una discusión relacionada, https://economics.stackexchange.com/a/14289/61 .

...O a veces uno puede confundirse un poco, por ejemplo, en el problema específico, uno podría detenerse momentáneamente y preguntarse "¿cuál es la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado?"

Pues es lo que parece: cero. Porque

$$\frac{\partial \mathcal H}{\partial k}= \frac{\partial \lambda \dot k}{\partial k} = -\frac{\partial \lambda c}{\partial k} = 0,$$

porque no diferenciamos la variable de decisión, o el multiplicador, con respecto a la variable de estado. Ahora, de forma óptima, tenemos

$$\frac{\partial \mathcal H}{\partial k} = -\dot \lambda,$$

por lo que se deduce que el multiplicador es constante a lo largo del eje temporal, $\dot \lambda = 0$ . Entonces, para la otra condición de primer orden, tenemos

$$\frac{\partial \mathcal H}{\partial c} = 0 \implies e^{-rt} \frac 1 c = \lambda.$$

Diferenciando esto con respecto al tiempo obtenemos

$$-re^{-rt} \frac 1 c - e^{-rt} \frac{\dot c}{c^2} = 0 \implies \dot c = -rc,$$

que es lo que obtenemos de HJB como función "política".

En cuanto a si se trata de un máximo, lo es, porque el hamiltoniano es conjuntamente cóncavo en $c$ y $k$ ver, https://economics.stackexchange.com/a/6063/61 .