Sustitución recursiva en series temporales

Question

Agradecería alguna orientación sobre un asunto de sustitución recursiva, donde tenemos el modelo AR:

$$y_t = \alpha +\theta_1y_{t-1}+ u_t$$

Y

$$E(y_t)= \mu_t$$

Dónde:

$$\mu_t = (1+\theta_1 + \theta_1^2+..+\theta^{t-1})\alpha+\theta^ty_0$$

Por sustitución recursiva obtenemos:

$$y_t = \mu_t +(u_t +\theta_1u_{t-1}+\theta^2u_{t-2}+...+\theta^{t-1}u_1)$$

Y posteriormente:

$$E[y_t] = E[\mu_t]+ E[(u_t +\theta_1u_{t-1}+\theta^2u_{t-2}+...+\theta^{t-1}u_1)]= \mu_t$$

¿Podría alguien explicar cómo se obtiene el paso relativo a la sustitución recursiva, pasando de la línea 2,3,4?

Answer 1

\begin{align}y_t &= \alpha + \theta_1y_{t-1}+u_t \\ &= \alpha+\theta_1(\alpha + \theta_1y_{t-2}+u_{t-1}) + u_{t} \\ &= (1+\theta_1) \alpha + \theta_1^2y_{t-2} + \theta_1u_{t-1}+u_{t} \\ &= (1+\theta_1) \alpha + \theta_1^2(\alpha + \theta_1y_{t-3}+u_{t-3}) + \theta_1u_{t-1}+u_{t} \\ &= (1+\theta_1 + \theta_1^2) \alpha + \theta_1^3y_{t-3} + \theta_1^3u_{t-3}+\theta_1u_{t-1}+u_{t} \\ &= \dots \\ &= (1+\theta_1+\dots+\theta_1^{t-1})\alpha+\theta_1^ty_0+\theta_1^{t}u_{0}+\dots+\theta_1u_{t-1}+u_{t} \\ &= \mu_t+\theta_1^{t}u_{0}+\dots+\theta_1u_{t-1}+u_{t} \end{align}

Por lo tanto,

$$E[y_t] = E[\mu_t]+\theta_1^{t}E[u_{0}]+\dots+\theta_1E[u_{t-1}]+E[u_{t}] = E[\mu_t]$$ desde $E[u_{t}] = 0\ \forall\ t$

Finalmente, $$E[\mu_t] = (1+\theta_1+\dots+\theta_1^{t-1})\alpha+\theta_1^tE[y_0] = (1+\theta_1+\dots+\theta_1^{t-1})\alpha+\theta_1^ty_0 = \mu_t$$ donde suponemos que $y_0$ no es aleatorio.