¿Deben modelarse los precios (o los índices de precios) con tendencia determinista?

Question

Siempre me enfrento a un dilema sobre si asumir que los precios tienen una tendencia temporal o no al modelar. También es, en parte, un problema de estadística. Me explico. Supongamos que tengo series temporales, $y_t$ del precio de un producto que, al trazarlo, parece tener una pendiente ascendente (lo que, al fin y al cabo, es cierto para la mayoría de los artículos).

Cuando aplico la prueba de root unitaria sin deriva, el resultado es el no rechazo de root unitaria. Sin embargo, si incluyo un término de deriva, el resultado es el rechazo de root unitaria.

Ahora bien, si el verdadero proceso es un paseo aleatorio sin deriva, es muy probable que la inclusión de la deriva rechace incorrectamente la nulidad (a continuación se presenta un estudio de simulación que muestra que si el verdadero proceso es un paseo aleatorio puro, la inclusión de la deriva rechaza la nulidad alrededor del 34% de las veces). La línea roja es la distribución del estadístico t cuando se aplica la prueba ADF con deriva, y la línea azul cuando se aplica sin deriva (que es el verdadero proceso).

(la línea vertical es el valor del cuantil 0,05 de la distribución DF - curva azul)

Ahora bien, si la serie tuviera una tendencia temporal (sin root unitaria), la prueba ADF (sin deriva) casi nunca rechaza la nulidad de root unitaria.

De ahí el dilema. Mi opinión es que la respuesta (si la tendencia es estocástica o determinista) tiene que venir de la teoría. Así que la cuestión se reduce a ¿Por qué los precios deben tener una tendencia determinista? ¿Qué dinámica económica justificaría la modelización de la serie como, por ejemplo, un proceso AR(1) con tendencia temporal?

Código:

'%>%'=magrittr::'%>%'
n=1e4
tt_coef = 0.1

ar1 = function(phi, n=1000, tt=0, tt_coef=0,sd) {
  y = numeric(1000+100)
  for (i in 2:length(y)) {
    y[i] = phi*y[i-1] + tt*tt_coef*i + rnorm(1,mean = 0, sd = 1)
    }
  return(tail(y,n)) # first 100 observations burned to remove impact of initial condtns
}

samples_tt = replicate(n,ar1(phi = 0.7,tt = 1, tt_coef = tt_coef, sd = 8),simplify = F)
df_stats_tt = lapply(samples_tt, function(x) urca::ur.df(x,lags = 0,
                                                         type = 'none')@teststat) %>%
  unlist()

samples_rw = replicate(n,ar1(phi = 1, sd = 1),simplify = F)
df_stats_rw = lapply(samples_rw, function(x) urca::ur.df(x,lags = 0,
                                                         type = 'none')@teststat) %>%
  unlist()

df_stats_drift = lapply(samples_rw, function(x) urca::ur.df(x,lags = 0,
                                                            type = 'drift')@teststat[,1]) %>%
  unlist()

sum(df_stats_drift<quantile(df_stats_rw, probs = 0.05))/n
sum(df_stats_tt < quantile(df_stats_rw, probs = 0.05))/n

plot(density(df_stats_drift), type = 'l', lwd = 2, 
     col = 'red', main = 'DF-Distribution', xlab = '')
lines(density(df_stats_rw), type = 'l', lwd = 2, col = 'blue')
abline(v = quantile(df_stats_rw, prob = 0.05))
legend('topleft', legend = c('Without Drift', 'With Drift'), 
       col = c('blue', 'red'), lwd = 2, bty = 'n')

Answer 1

¿Deben modelarse los precios (o los índices de precios) con tendencia determinista?

A menudo sí. Los precios pueden tener tendencia temporal por varias razones. Por ejemplo, la más obvia es la inflación. Mientras que la inflación es el aumento de precios agregados no es necesario en cada uno de ellos, el nivel de precios agregado no aumentaría si un número significativo de precios no lo hiciera. Por lo tanto, es de esperar que los precios tengan una tendencia temporal ascendente en muchos precios de cualquier país que experimente inflación. Por esta razón, cuando se analiza el IPC, se suele probar la hipótesis de root unitaria contra la tendencia estacionaria (a menudo incluso con tendencias no lineales como en Bierens 1997 )

La lógica del IPC podría no ser aplicable a cada un solo precio individual, algunos de ellos pueden ser estables, pero puede extenderse a muchos precios individuales.

La justificación de la tendencia del IPC es simplemente que los bancos centrales tienen como objetivo el aumento del IPC, por lo que se esperaría que tuviera una tendencia positiva porque, basándose en la teoría económica, los bancos centrales son capaces de controlar (con más o menos precisión) la inflación (véanse varios modelos rigurosos de esto en Romer Advanced Macroeconomics). Si, por el contrario, los bancos centrales tuvieran como objetivo $0\%$ inflación no querrá incluir la tendencia.

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Edición: En respuesta a la pregunta sobre la inclusión del término de deriva cuando no hay tendencia, no conduce a un sesgo en general. Para explicar esto considere la prueba de Dickey-Fuller y su mecánica:

La prueba DF con deriva se da como:

$$\Delta Y_t = \delta + (\theta-1) Y_{t-1} +\epsilon$$

Ahora bien, esto es en su núcleo estimado sólo por OLS. En consecuencia, si el modelo se supone que tiene deriva, pero se excluye y se estima $$\Delta Y_t = (\theta-1) Y_{t-1} +\epsilon$$ sesgará su estimación de $(\theta-1)$ pero lo contrario no se sostiene. Si se estima $\Delta Y_t = \delta + (\theta-1) Y_{t-1} +\epsilon$ pero la serie no tiene ninguna deriva entonces en las expectativas $\delta$ será simplemente cero y la estimación de $(\theta-1)$ no será parcial. Esto es crucial porque aunque no nos preocupemos por $(\theta-1)$ per se, sino sobre el valor de la prueba DF, si $(\theta-1)$ se estima de forma sesgada cualquier estadística DF posterior es inútil (también hay que tener en cuenta la ejecución de la prueba DF auxiliar y examinar si $\delta$ es significativo y cercano a cero o no es una forma barata de evaluar rápidamente si es importante).

Ahora, cuando se trata de $t$ de la prueba DF hay que tener en cuenta que no se están utilizando los valores críticos basados en la distribución DF. Bajo el nulo, la distribución de la prueba DF no es estándar, por lo que hay que tabular los valores críticos apropiados utilizando simulaciones de Monte-Carlo para la distribución no estándar que se mantiene bajo la condición nula (véase Verbeek, A Guide to Modern Econometrics. pp 292).

Los valores críticos correctos para la prueba de DF con tendencia y con deriva se indican en la tabla siguiente (de ibid).

La tabla no incluye el valor apropiado para la especificación sin deriva, pero he encontrado que aquí .

Observarás que si aplicas estos valores críticos adecuados a la distribución de $t$ -estadística de la prueba DF de sus simulaciones encontrará que las áreas en la cola son prácticamente idénticas entre la prueba DF con y sin deriva. El área a la izquierda de la línea verde $t^* = -2.87$ por debajo de la dist. roja está muy cerca de la zona de la izquierda de la línea naranja $t^*=1.942$ por debajo de la dist* azul.

Las áreas no serán exactamente iguales, por supuesto, y el uso de la prueba de DF con la deriva en marginal casos conducen a inferencias incorrectas, por lo que tienes razón al interesarte por las razones teóricas de si debe haber o no deriva, si quieres ser pedante al respecto (lo cual debes hacer, no me malinterpretes). Sin embargo, dicho esto, en caso de duda debe utilizar DF con deriva porque excluirla podría dar lugar a un sesgo en $\theta-1$ y en ese punto cualquier inferencia es completamente inútil y ni siquiera es posible acertar $t$ -stat desde $DF_t= \frac{\hat{\theta}-1}{se(\hat{\theta})}$ - si te equivocas de numerador entonces es el fin.

*: nota He modificado el código para tener sólo 500 observaciones para poder aplicar los valores críticos adecuados. Además, cambio la serie para que sea sólo paseo aleatorio porque no hay reparo en que la versión sin deriva sea errónea si hay deriva.