¿Por qué no hablar de funciones de utilidad en la línea surrealista cuando las preferencias son lexicográficas, etc.?

Question

He estado leyendo sobre el números surrealistas por curiosidad. Aunque no los entiendo del todo, me pregunto por qué no los veo utilizar más a menudo. Los números surrealistas amplían la línea real para incluir también los números infinitesimales e infinitos (ordinales transfinitos como $\omega$ que se identifica con el número cardinal $\aleph_0$ , a su vez la cardinalidad de $\mathbb{N}$ ).

A menudo, hay preferencias interesantes que no pueden ser representadas por una función de utilidad de valor real. El ejemplo obvio es el de las preferencias lexicográficas. Pero ¿por qué no tener $u:\mathbb{R}^n\rightarrow S^*$ como $u(a,b)=a+\frac{b}{\omega}$ ?

Los espacios de probabilidad lexicográfica son otro lugar donde estos números podrían tener aplicación. Si queremos diferenciar entre dos eventos de probabilidad cero, que uno tenga probabilidad $\frac{1}{\omega}$ y el otro $\frac{2}{\omega}$ .

Uno podría preguntarse, claro que se pueden usar, pero ¿para qué? ¿Qué ganamos? Es una buena pregunta. Creo que su uso haría que las cosas fueran más limpias, haciendo que los espacios lexicográficos sean una construcción menos torturada.

Answer 1

Lo primero que se me ocurre es que algunos modelos económicos tienen más de un agente.

Si un agente tiene una función de utilidad con valores en ${\mathbb R}$ entonces dos agentes tienen un par de funciones de utilidad con valores conjuntos en ${\mathbb R}^2$ . Si un agente tiene una función de utilidad con valores en $S^*$ entonces dos agentes tienen un par de funciones de utilidad con valores conjuntos en ...¿qué? No podemos formar un producto de $S^*$ con ella misma, porque $S^*$ no es un conjunto.

Probablemente haya formas de sortear estas dificultades, pero van a ser torpes y van a requerir un montón de jugueteos con fundamentos que casi seguramente no interesan a la mayoría de los economistas.

La teoría de conjuntos nos permite formar uniones, productos, coproductos y conjuntos de potencia. Nos permite hablar de subconjuntos y superconjuntos sin tener que preocuparnos de si existen. Los economistas utilizan estas construcciones todo el tiempo sin pararse a pensar en ellas. Dudo que queramos cambiar a un nuevo fundamento que nos obligue a pensar en ellas constantemente.

Answer 2

Se trata de la probabilidad lexicográfica y de la probabilidad hiperreal-valorada en el tercer párrafo. Por la pregunta y el comentario, me parece que esta pregunta está más relacionada con la utilidad de los números hiperreales que con los números surrealistas.

Una de las cuestiones centrales y controvertidas en la teoría de los juegos era bajo qué escenario, la creencia común de racionalidad implica la inducción hacia atrás(ver Aumann(1995) , (1998) y Binmore(1996) ).

Consideremos un juego de ciempiés de tres patas de información incompleta con el espacio de tipos universal de Harsanyi. Ann de tipo $t_a$ cree que Bob juega $``In"$ , mientras que Ann de tipo $u_a$ cree que Bob juega $“Out”$ . Bob, por otro lado cree que Ann es del tipo $u_a$ y juega $``Out"$ . Luego, en el estado $(t_a, (In,Out),Out)$ que no es el camino de la inducción hacia atrás, la creencia común de la racionalidad sigue siendo válida. Lo que tenemos que verificar son, en el estado dado:

1. Lo que Ann cree implica que Ann es racional.
2. Lo que Ann cree que Bob cree implica que Ann cree que Bob es racional.

3. Lo que Ann cree que Bob cree que Ann cree implica que Ann cree que Bob cree que Ann es racional.

   $\ldots \ \ldots$

Obsérvese que sólo tenemos que comprobar los tres primeros pasos, lo que Ann cree que Bob cree que Ann es lo mismo que lo que Ann cree que Bob cree que Ann $\ldots$ Bob cree que Ann cree. El mismo procedimiento se aplica a una situación similar de intercambio de Ann y Bob en el razonamiento anterior.

Para obtener el resultado básico de que la creencia común implica la inducción hacia atrás, podemos cambiar al sistema de creencia hiperrealista. En concreto, un jugador no descartará ninguna de las estrategias de su oponente. Si ella cree que un oponente es racional, y la estrategia $s_1$ produce un mayor rendimiento en comparación con $s_2$ para este oponente, entonces ella creerá que $s_1$ es infinitamente más probable que $s_2$ .

Ahora bien, si se da el caso de que Ann cree que Bob es racional, entonces Bob debería creer que entonces la posibilidad de que Ann juegue $“Out"$ en el tercer nodo condicionado a que juegue $“In"$ en el primer nodo es menor que $\frac{2}{3}$ . Pero si Ann cree que Ann cree que Bob cree que Ann del tipo $t_a$ y $u_a$ es racional, entonces la parte estándar de la probabilidad de que Ann juegue $“Out"$ en el tercer nodo condicionado a que juegue $“In"$ en el primer nodo es igual a $1$ .

Por supuesto, exactamente el mismo argumento funciona para la probabilidad lexicográfica, que es más parsimoniosa.

Mi opinión es que uno de los inconvenientes para evitar que la probabilidad hiperreal se aplique ampliamente puede ser que no podemos definir el producto infinito de un número infinitesimal. Por ejemplo, en un juego extensivo infinito, un jugador cree que la probabilidad de llegar a cada nodo de un camino es igual a $\epsilon$ que es la clase de equivalencia de $(1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}, \ldots,)$ hasta un ultrafiltro fijo en $\mathbb{N}$ . Por supuesto, esperamos que la probabilidad de que este camino se realice sea también infinitesimal. Pero hay que tener en cuenta que $\epsilon = \epsilon_n := \{a_i^n\}_{i \in \mathbb{Z_+}}$ en el que

\begin{eqnarray}a_i^n= \begin{cases} 1, &i<n \cr mn^{n-1}, &i=n \cr \frac{1}{i}, &i>n\end{cases} \end{eqnarray}

A diferencia del producto finito, si definimos el producto inifinito de los números hiperreales como su producto por componentes, entonces, en este caso, podemos hacerlo igual a cualquier número real $m$ .